Ejercicios de puntos en el espacio

1Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

2Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4), hallar:

1Las ecuaciones de las medianas del triángulo

2Las coordenadas del baricentro del triángulo.

3Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.

3Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B.

4Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.

5Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) sean coplanarios.

6¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros a, b y c para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean coplanarios?

7Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

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Ejercicio 1 resuelto

Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

paralelogramo

coordenadas

operaciones

operaciones

C

coordenadas

operaciones

operaciones

D

Ejercicio 2 resuelto

Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4), hallar:

1Las ecuaciones de las medianas del triángulo

triángulo

Punto medio

Punto medio

Punto medio

vector

vector

vector

ecuación de la mediana

ecuación de la mediana

ecuación de la mediana

2Las coordenadas del baricentro del triángulo.

baricentro

3Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.

baricentro

Los baricentros de los dos triángulos coinciden.

Ejercicio 3 resuelto

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B.

vector

ecuación de la recta

Para que el punto C este alineado con A y B, debe pertenecer a la recta que pasa por A y B.

desigualdades

Como C no satisface las ecuaciones de la recta, no está alineado con A y B.

Ejercicio 4 resuelto

Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.

·vector

vector

matriz

solución

Ejercicio 5 resuelto

Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) sean coplanarios.

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados por ellos también han de ser coplanarios, es decir, que el rango de los vectores sea 2.

vector

vector

vector

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

ecuación

solución

Ejercicio 6 resuelto

¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros a, b y c para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean coplanarios?

Los puntos A, B, C y D son coplanarios si:

rango

vector

vector

vector

matriz

solución

Ejercicio 7 resuelto

Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

rango

vector

vector

vector

operaciones

determinación lineal

ecuación del plano

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