Ecuaciones del plano

Ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector vector tiene que ser coplanario con vector u y v.

ecuación vectorial del plano

igualdad

ecuación vectorial del plano

ecuación vectorial de plano

Ecuaciones paramétricas del plano

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

operaciones

Esta igualdad se verifica si:

ecuaciones para métricas del plaro

Ecuación general o implícita del plano

Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

sistema

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

Ecuación general del plano

Desarrollamos el determinante.

operaciones

Damos los valores:

coeficientes

Sustituimos:

ecuación

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

ecuación

Obtenemos la ecuación general de plano:

eco general del plano

Vector normal

El vector vector normal es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.

Vector normal

Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano, el vector vector es perpendicular al vector vector normal, y por tanto el producto escalar es cero.

ecuación

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

Ecuación canónica o segmentaria del plano

ecuación canónica en el espacio

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:

ecuación canónica de la recta en el espacio

coeficientes

Ejercicios

1Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a vector y vector.

ecuaciones paramétricas

ecuación general

ecuación general

2Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector vector.

vector

ecuaciones paramétricas

el cuartel general

3Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 1, −1), B(0, 1, 1) y C(4, −3, 2).

vector

vector

ecuaciones paramétricas

ecuación general

4Sea π el plano de ecuaciones paramétricas:

ecuaciones paramétricas

Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, −1) pertenecen al plano.

ecuación general

comprobación

comprobación

5Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).

vector

vector

ecuación general

Dividiendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria:

ecuación segmentaria

6Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendicular al plano x − y − z + 2 = 0.

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano, vector normal, será el vector director de la recta que pasa por el punto (1, 0, 0).

ecuaciones continuas

7Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuación:

ecuaciones continuas

De la ecuación de la recta obtenemos el punto B y el vector vector u.

vector

determinación lineal

ecuación general


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