Áreas y volúmenes

Área de un triángulo

triángulo

área del triángulo

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

producto vectorial

operaciones

vector

módulo del vector

área del triángulo

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

área del paralelogramo

área

Ejemplo:

Dados los vectores uy vector, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores vector u y v·

producto vectorial

área

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

volumen del tetraedro

Ejemplo:

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

vector

vector

vector

volumen

producto mixto

solución

Volumen del paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

Ejemplo:

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

vectores

volumen

Distancia entre planos paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

También se puede calcular de esta otra forma:

ecuaciones de los planos

distancia entre los planos

Ejemplo:

Calcular la distancia entre los planos ecuación del plano y ecuación del plano.

proporción

Los dos planos son paralelos.

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.

ecuación del claro

distancia


 

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