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Ángulo entre dos rectas
El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.
Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales, esto es, si 
Ejercicios de ángulo entre dos rectas
1Hallar el ángulo que forman las rectas:
1Obtenemos el vector director 
de la recta 
2Obtenemos el vector director 
de la recta 
3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos rectas y resolvemos
Así, el ángulo formado por las dos rectas es 
2Hallar el ángulo que forman las rectas:
1Obtenemos el vector director de la recta . Como se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes
El vector director es
2Obtenemos el vector director de la recta
El vector director es
3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos rectas y resolvemos
Así, el ángulo formado por las dos rectas es 
3Hallar el ángulo que forman las rectas:
1Obtenemos el vector director de la recta .
2Obtenemos el vector director de la recta . Como se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes
El vector director es
3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos rectas y resolvemos
Así, el ángulo formado por las dos rectas es 
Ángulo entre dos planos
El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales 
y 
de dichos planos.
Dos planos son perpendiculares 
si sus vectores normales son ortogonales, esto es, si 
Ejercicio de ángulo entre dos planos
1Hallar el ángulo que forman los planos:
1Obtenemos el vector normal 
del plano 
, este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano
2Obtenemos el vector normal 
del plano 
3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman dos planos y resolvemos
Así, el ángulo formado por los dos planos es 
Ángulo entre recta y plano
El ángulo que forman una recta y un plano 
, es el ángulo formado por con su proyección ortogonal sobre .
El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forman el vector director 
de la recta y el vector normal 
del plano.
Si la recta y el plano son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales
Ejercicio de ángulo entre una recta y un plano
1Hallar el ángulo que forman la recta y el plano:
1Obtenemos el vector director de la recta
2Obtenemos el vector normal 
del plano , este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano
3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman una recta y un plano y resolvemos
Así, el ángulo formado por la recta y el plano es 
2Hallar el ángulo que forman la recta y el plano:
1Obtenemos el vector director de la recta . Como se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes
El vector director es
2Obtenemos el vector normal del plano , este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano
3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman una recta y un plano y resolvemos
Así, el ángulo formado por la recta y el plano es 
3Hallar el ángulo que forman la recta y el plano:
1Obtenemos el vector director de la recta . Como se expresa como la intersección de dos planos secantes, empleamos la fórmula para encontrar el vector director la cual emplea los coeficientes de los planos secantes
El vector director es
2Obtenemos el vector normal del plano , este está dado por los coeficientes de la ecuación del plano
3Sustituimos en la fórmula emplada para encontrar el ángulo que forman una recta y un plano y resolvemos
Así, el ángulo formado por la recta y el plano es
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
No me queda claro por qué el área de un paralelogramo con los vectores ā y ē es |ā x ē| en vez de ser |ā|·|ē| que sería el módulo (longitud) de uno por el módulo (longitud) del otro.
Para entenderlo recordemos cómo se calcula el área del paralelogramo es base por altura, para la base se toma el módulo de uno de los vectores pero para altura se toma la proyección del otro vector en el eje vertical lo que implica la función seno y ya multiplicados dan una de las definiciones del producto cruz, en el artículo “https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/distancias/areas-y-volumenes.html#tema_area-del-paralelogramo” se la imagen de lo que explique.