Ejercicios y problemas de sistemas Gauss

1 Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

1 En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.

2 Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

3 Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

4 De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente) eliminando ecuaciones.

2Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

sistema

3Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

sistema

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?

4 Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m.

sistema

5Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

  • El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
  • El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
  • El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

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Ejercicio 1 resuelto

Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

1 En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.

Si.

sistema

solución

Se puede eliminar la 3ª ecuación, ya que es combinación lineal de las otras dos ecuaciones.

solución

2 Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

No.

Los sistemas homogéneos, por lo general, sólo admiten la solución trivial: x = 0; y = 0; z = 0...

Mientras que los sistemas compatibles determinados admiten infinitas soluciones.

3 Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

No.

4 De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente) eliminando ecuaciones.

Si.

sistema

solución

Ejercicio 2 resuelto

Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

sistema

solución

solución

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 3 resuelto

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

sistema

sistema

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera ecuación?

Sí, podemos transformarlo en un sistema compatible indeterminado, con sólo hacer que la 3ª ecuación sea la suma de la 1ª y 2ª.

sistema

Ejercicio 4 resuelto

Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver del sistema para ese valor de m.

sistema

solución

solución

Ejercicio 5 resuelto

Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

  • El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
  • El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
  • El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

x = Peso del 1er lingote.

y = Peso del 2º lingote.

z = Peso del 3er lingote.

En el 1er lingote, la ley del oro es:    20/90 = 2/9

En el 2º lingote, la ley del oro es:    30/120 = 1/4

En el 3 er lingote, la ley del oro es:    40/180 = 2/9

La ecuación para el oro es:

ecuación

En el 1er lingote, la ley de la plata es:     30/90 = 1/3

En el 2º lingote, la ley de la plata es:     40/120 = 1/3

En el 3 er lingote, la ley de la plata es:    50/180 = 5/18

La ecuación para el plata es:

  ecuación

En el 1er lingote, la ley del cobre es:    40/90 = 4/9

En el 2ºlingote, la ley del cobre es:    50/120 = 5/12

En el 3 er lingote, la ley del cobre es:     90/180 = 1/2

La ecuación para el cobre es:

ecuación

sistema

x = 45      y = 48      z = 54

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