Fórmulas de sistemas de ecuaciones lineales
Regla de Cramer
Un sistema Cramer es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, tal que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinta de 0.
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Y sean:
Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.
Teorema de Rouché-Fröbenius
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales .
- r = r' Sistema Compatible.
- r = r'= n Sistema Compatible Determinado.
- r = r'≠ n Sistema Compatible Determinado.
- r ≠ r' Sistema Incompatible.
Sistemas homogéneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo .
Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r < n
