Teorema de Rouché

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

r = r' Sistema compatible.

r = r' = n Sistema compatible determinado.

r = r' ≠ n Sistema compatible indeterminado.

r ≠ r' Sistema incompatible.

Ejemplo

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

sistema

 1  Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.

rango

rango

r(A) = 3

 2  Hallamos el rango de la matriz ampliada

matriz

determinante

r(A') = 3

 3  Aplicamos el teorema de Rouché.

teorema de Rouché

teorema de Rouché

 4  Como el sistema es compatible podemos resolverlo, bien por la regla de Cramer o por el método de Gauss.

Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3 que tiene rango 3, y lo resolvemos.En este caso lo haremos por la regla de Cramer.

regla de Cramer

regla de Cramer

regla de Cramer


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