Regla de Cramer

Un sistema Cramer es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, tal que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinta de 0.

Sistema

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Delta

Y sean:

Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

soluciones

Teorema de Rouché−Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales .

  • r = r'              Sistema Compatible.
    • r = r'= n   Sistema Compatible Determinado.
    • r = r'≠ n   Sistema Compatible Indeterminado.
  • r ≠ r'               Sistema Incompatible.

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

Sistemas homogéneos

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.