Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

1El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

2Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

  Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1 2 3
Mina B 2 5 7
Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

3La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?

4Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.

Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.

Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de cada especie se venden?

5Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

  • El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
  • El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
  • El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

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Ejercicio 1 resuelto

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

x = Importe en € de los refrescos.             x=120 €

y = Importe en € de la cerveza.                y=160 €

z = Importe en € del vino.                        z=220 €

solución

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Ejercicio 2 resuelto

Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

  Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1 2 3
Mina B 2 5 7
Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

x = nº de toneladas de la mina A.              x=200 t

y = nº de toneladas de la mina B.              y=100 t

z = nº de toneladas de la mina C.              z=300 t

solución

solución

Ejercicio 3 resuelto

La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?

x = Edad actual del padre.

y = Edad actual del hijo mayor.

z = Edad actual del hijo menor.

Relación actual:         x = 2(y + z)

Hace y − z años:        x − (y − z) = 3[y − (y − z) + z − (y − z)]

Dentro de y + z:        x + (y + z) + y + (y + z) + z + (y + z) = 150

solución

solución

Al nacer los hijos, el padre tenía 35 y 40 años , respectivamente.

Ejercicio 4 resuelto

Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.

Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.

Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de cada especie se venden?

x = Volumen de trigo.

y = Volumen de cebada.

z = Volumen de mijo.

solución

solución

Considerando que las tres variables son números naturales, y que su suma es 100, obtenemos las siguientes soluciones:

  S1 S2 S3 S4 S5
x 1 4 7 10 13
y 31 24 17 10 3
z 68 72 76 80 84

Ejercicio 5 resuelto

Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

  • El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
  • El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
  • El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

x = Peso del 1er lingote.

y = Peso del 2º lingote.

z = Peso del 3er lingote.

En el 1er lingote, la ley del oro es:    20/90 = 2/9

En el 2º lingote, la ley del oro es:    30/120 = 1/4

En el 3 er lingote, la ley del oro es:    40/180 = 2/9

La ecuación para el oro es:

ecuación

En el 1er lingote, la ley de la plata es:     30/90 = 1/3

En el 2º lingote, la ley de la plata es:     40/120 = 1/3

En el 3 er lingote, la ley de la plata es:    50/180 = 5/18

La ecuación para el plata es:

  ecuación

En el 1er lingote, la ley del cobre es:    40/90 = 4/9

En el 2ºlingote, la ley del cobre es:    50/120 = 5/12

En el 3 er lingote, la ley del cobre es:     90/180 = 1/2

La ecuación para el cobre es:

ecuación

sistema

x = 45      y = 48      z = 54

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