1Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de Por tanto,

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Como

 

 

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

 

 

4Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de y su matriz correspondiente.

 

 

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 

 

 

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que y

2 Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de Por tanto,

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Como

 

 

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

 

 

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de y su matriz correspondiente.

 

 

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 

 

 

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que y

3

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 5 porque no es una matriz de Por tanto,

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Como no podemos obtener una submatriz de orden mayor a , entonces

 

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado, pues

 

 

4 El sistema no tiene solución única, podemos resolverlo por la regla de Cramer. Haciendo . Tomamos el subsistema de y su matriz correspondiente.

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 

 

 

 

 

4Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de Por tanto,

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Como no existe una submatriz de orden mayor a entonces

 

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

 

 

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss.

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 

 

 

Finalmente podemos obtener el valor de despejando
de alguna de las ecuaciones del sistema, digamos


5Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 

Dado que

 

 

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si , entonces el rango será y Si , entonces el rango será .

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Como existe una submatriz de orden con determinante diferente de cero

 

 

entonces

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si , pues . Si , entonces y el sistema será incompatible.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

 

 

 

6Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 

Dado que

 

 

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si , entonces el rango será y Si , entonces el rango será .

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Dado que la cuarta columna de la matriz es dos veces la primera columna de la matriz , entonces podemos reducir nuestra matriz a la matriz , esto es,

 

 

entonces

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si , pues y . Si , entonces , y el sistema será compatible indeterminado.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

 

 

 

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si y , entonces

Luego, y

7Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 

El determinante de cualquier submatriz de orden es o

 

Dado que

 

 

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si , entonces el rango será y Si , entonces el rango será .

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Si entonces

 

 

y

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si , pues y . Si , entonces , y el sistema será compatible indeterminado.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

 

 

 

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si y , , entonces

Luego, .

8Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

el determinante de esta matriz es

 

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 

Si entonces

 

 

y

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si , pues y . Si , entonces y , pues existen submatrices de de orden 2 y 3 con determinante diferente de cero. De esta forma el sistema será incompatible.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado mediante el método de Gauss.

 

 

Al restar la fila 3 con la fila 2 tenemos que

 

Por los tanto . Luego

9 Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

 

 

2 Calculamos el determinante de la matriz

 

 

Notemos también que la matriz tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a

 

 

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices y . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

 

3 El sistema es compatible determinado, si , y para todo pues y ; esto es consecuencia de que el determinante de es no nulo y que no tiene una submatriz de orden mayor a 3.

 

4 Si y , entonces

Por tanto se sigue que y dado que de podemos extraer el siguiente determinante

Entonces concluimos que el rango de es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible.

 

5 Si y , entonces

Por tanto se sigue que y dado que de podemos extraer el siguiente determinante

Entonces concluimos que el rango de es 3. Los que nos dice que el sistema es incompatible nuevamente.

10Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

 

 

2 Calculamos el determinante de la matriz

 

 

Notemos también que la matriz tiene una submatriz de orden 2 con terminante igual a

 

 

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices y . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

 

3 El sistema es compatible determinado, si , pues y ; esto es consecuencia de que el determinante de es no nulo y que no tiene una submatriz de orden mayor a 3. Resolvemos el sistema para este caso, utilizando el método de la regla de Cramer.

 

 

 

 

4 Si , entonces

Por tanto se sigue que y dado que de podemos extraer el siguiente determinante

Entonces concluimos que el rango de es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible.

 

5 Si , entonces

Por tanto se sigue que y dado que de podemos extraer el siguiente determinante

Entonces concluimos que el rango de es 2. Los que nos dice que el sistema es compatible indeterminado. Utilizando la regla de Cramer y haciendo podemos resolver el sistema de ecuaciones para este caso,

Dado que

tenemos que

 

 

11 Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

Dado que el determinante de es

 

Entonces en el caso de que , tendremos que el rango de es 3 y lo que nos da que el sistema solo podrá tener la solución trivial

 

2 Si , entonces tenemos que el rango de la matriz es 2, pues tenemos que

Dado que , entonces el sistema sería compatible indeterminado, el cual podemos resolver mediante la regla de Cramer haciendo ,

 

 

12Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

 

 

2 Calculamos el determinante de la matriz

 

 

Notemos también que la matriz tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a 2

 

 

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices y . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

 

3 El sistema es compatible determinado, si , pues y ; esto es consecuencia de que el determinante de es no nulo y de que no tiene una submatriz de orden mayor a 3 con determinante nulo.

 

4 Si , entonces

Por tanto se sigue que y dado que de podemos extraer el siguiente determinante

Entonces concluimos que el rango de es 3 si , lo que nos dice que el sistema será incompatible. Finalmente si , entonces podemos decir que el sistema es compatible indeterminado, pues .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗