En este artículo resolveremos paso a paso ejercicios sobre programación lineal. Recordemos que, la programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, las cuales llamamos restricciones. Aplicaremos esta herramienta de las matemáticas para resolver problemas de optimización en áreas como en la industria, economía, etc.
Ejercicios de programación lineal
1Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 
m de tejido de algodón y 
m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 
m de algodón y 
m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 
m de algodón y m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 
€ y el de la chaqueta en 
€. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
| pantalones | chaquetas | disponible | |
|---|---|---|---|
| algodón | | | |
| poliéster | | | |
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el 
.
Como 
entonces el punto se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos 
.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto, estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo, para lo cual en la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices
€
€
€ Máximo
La solución óptima es fabricar 
pantalones y 
chaquetas para obtener un beneficio de 
€.
2Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara 
y 
. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo y de 
minutos para el ; y un trabajo de máquina para y de 10 minutos para . Se dispone para el trabajo manual de 
horas al mes y para la máquina 
horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 
y 
euros para y , respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
 |  | Tiempo | |
|---|---|---|---|
| Manual |  |  | |
| Máquina | |  | |
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 
; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el 
.
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo y 60 del modelo para obtener un beneficio de 
€ .
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3Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo 
con un espacio refrigerado de 
m³ y un espacio no refrigerado de m³. Los del tipo 
, con igual cubicaje total, al % de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 
m³ de producto que necesita refrigeración y 
m³ de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo es de € y el de €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| | Total | |
|---|---|---|---|
| Refrigerado | | | |
| No refrigerado | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
Como 
e 
han de ser números naturales redondeamos el valor de .
Por defecto, veamos que valor toma la para 
en la ecuación 
que pertenece al recinto de las soluciones factibles; 
. Obtenemos un número natural
El coste mínimo son 
€ para 
y 
4En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de unidades de una sustancia y otras de una sustancia . En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo 
con una composición de una unidad de y 
de , y el otro tipo, 
, con una composición de cinco unidades de y una de . El precio del tipo es de euros y del tipo es de €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| | | |
| | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
Mínimo
El coste mínimo son 
€ para 
e 
.
5Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 
cuadernos, 
carpetas y 
bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá cuadernos, carpeta y bolígrafos; en el segundo, pondrán 
cuadernos, carpeta y bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 
y 
€, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
 |  | Disponibles | |
|---|---|---|---|
| Cuadernos | | | |
| Carpetas | | | |
| Bolígrafos | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
La solución óptima son 150 y 100 con la que se obtienen 
€
6Unos grandes almacenes desean liquidar 
camisas y pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, 
y 
. La oferta consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a €; la oferta consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a €. No se desea ofrecer menos de lotes de la oferta ni menos de de la . ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| A | B | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Camisas | | | |
| Pantalones | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 
€.
7Se dispone de g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan g y las pequeñas g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de € y la pequeña de €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
El máximo beneficio es de 
€, y se obtiene fabricando 
pastillas grandes y 
pequeñas.
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8Una escuela prepara una excursión para alumnos. La empresa de transporte tiene 
autobuses de plazas y de plazas, pero sólo dispone de 
conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 
€ y el de uno pequeño €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Mínimo
El coste mínimo es de 
€, y se consigue 
autobuses grandes y pequeños.
9Una empresa fabrica dos tipos de perforadoras, una manual y la otra automática. La perforadora automática requiere de horas para ser armada y horas de prueba dejando una utilidad de 
€, por otro lado la manual requiere de horas de armado y horas de prueba dejando una utilidad de 
€. Si la empresa dispone de 
horas de mano de obra al mes para armado y horas para prueba ¿Cuántas perforadoras deben producirse de cada modelo para maximizar las utilidades?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| P. Automática | P. Manual | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Horas de armado | | | |
| Horas de prueba | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 48 perforadoras automáticas y con 20 perforadoras manuales se obtiene la utilidad máxima de 104,800€.
10Una mueblería fabrica sofás y sillas, para producir un sofá se requieren minutos de trabajo manual y minutos de máquina y para producir una silla requiere de minutos de trabajo manual y minutos de máquina. Se dispone de horas al mes de trabajo manual y 
horas al mes de máquina. Si la utilidad de los sofás es de € y de las sillas es de €, ¿cuál debe ser el plan de producción para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| Sofás | Sillas | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Horas trabajo manual | | | |
| Horas trabajo en máquina | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y 
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
La mueblería debe producir 96 sofás y 336 sillas con lo cual maximizará el beneficio que será de 6,960€.
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11La empresa de tejidos S.A dispone de dos puntos industriales para confeccionar dos productos y . En el punto industrial , se requiere de 
horas de trabajo para elaborar el producto y hora para el producto ; mientras, en el punto industrial , se requiere horas para confeccionar cualquiera de los dos productos. Si los puntos y solo disponen de 
horas y 
horas, respectivamente. Sabiendo que las utilidades por unidad del producto son € y € por unidad del producto , ¿cuántas unidades de cada producto se debe confeccionar para máximizar la utilidad?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
| A | B | Mínimo | |
|---|---|---|---|
| Punto 1 | | | |
| Punto 2 | | | |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: 
y el vértice 
que debe ser redondeado a 
porque solo se permiten números naturales.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
La empresa debe confeccionar 24 productos A y 66 productos B con la finalidad de obtener la máxima utilidad de 540€.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
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Resuelve
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Se pide graficar, región solución factible y cantidad de cada tipo de torta para obtener el máximo objetivo
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