Problemas de programación lineal - Vitutor

1Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?

2Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

3Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

4En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

5Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

6Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

7Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

8Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

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Ejercicio 1 resuelto

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?

 1  Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

 2  Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

 3  Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

  pantalones chaquetas disponible
algodón 1 1,5 750
poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750 flecha 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolución gráfica

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

Resolución gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

Resolución gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 €

f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 €

f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

Ejercicio 2 resuelto

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

 1  Elección de las incógnitas.

x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

 2  Función objetivo

f(x, y) = 15x + 10y

 3  Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80

1/3x + 1/2y ≤ 100

1/3x + 1/6y ≤ 80

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 € .

Ejercicio 3 resuelto

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

 1  Elección de las incógnitas.

x = camiones de tipo A

y = camiones de tipo B

 2  Función objetivo

f(x,y) = 30x + 40y

 3  Restricciones

  A B Total
Refrigerado 20 30 3 000
No refrigerado 40 30 4 000

20x + 30y ≥ 3 000

40x + 30y ≥ 4 000

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332

f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500

Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.

f(50, 67) = 30 · 50 + 40 · 67 = 4180   Mínimo

El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.

Ejercicio 4 resuelto

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

 1  Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

 2  Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

 3  Restricciones

  X Y Mínimo
A 1 5 15
B 5 1 15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100   Mínimo

El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.

Ejercicio 5 resuelto

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

 1  Elección de las incógnitas.

x = P1

y = P2

 2  Función objetivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

 3  Restricciones

  P1 P2 Disponibles
Cuadernos 2 3 600
Carpetas 1 1 500
Bolígrafos 2 1 400

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €

f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 €    Máximo

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €

Ejercicio 6 resuelto

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

 1  Elección de las incógnitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

 2  Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

 3  Restricciones

  A B Mínimo
Camisas 1 3 200
Pantalones 1 1 100

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

 y ≥ 10

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €    Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

Ejercicio 7 resuelto

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

 1  Elección de las incógnitas.

x = Pastillas grandes

y = Pastillas pequeñas

 2  Función objetivo

f(x, y) = 2x + y

 3  Restricciones

40x + 30y ≤ 600

x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €

f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 €    Máximo

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

Ejercicio 8 resuelto

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

 1  Elección de las incógnitas.

x = autobuses pequeños

y = autobuses grandes

 2  Función objetivo

f(x, y) = 600x + 800y

 3  Restricciones

40x + 50y ≥ 400

x + y ≤ 9

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

 6  Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 €

f(0, 9) = 600 · 0 + 800· 9 = 7 200 €

f(5, 4) = 600 · 5 + 800· 4 = 6 200 €    Mínimo

El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños .

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