En este artículo resolveremos paso a paso ejercicios sobre programación lineal. Recordemos que, la programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamamos restricciones. Aplicaremos esta herramienda de las matemáticas para resolver problemas de optimización en áreas como en la industria, economía, etc.

 

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Vamos

Optimizan en la fabricación de lamparas

 

1Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2.

Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2,  respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

 

 

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para L2.

 

Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2,  respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

 

 1  Elección de las incógnitas.

 

= nº de lámparas L1

= nº de lámparas L2

 

2  Función objetivo

 

 

3  Restricciones

 

Pasamos los tiempos a horas

 

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

 

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

 

L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Máquina 1/3 1/6 80

 

 

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

 

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

 

Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello, tomamos un  punto del plano, por ejemplo el  .

 

 

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Lamparas)

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Estos son  las soluciones a los sistemas:

 

;  

;  

 

 

Solución optima del problema de optimización (Lamparas)

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

 

€  Máximo

 

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L2 para obtener un beneficio de 3,750€.

 

 

Material escolar

 

2Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

 

 

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar.

 

Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo.

 

Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente.

 

¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

 

 1  Elección de las incógnitas.

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

P1 P2 Disponibles
Cuadernos 2 3 600
Carpetas 1 1 500
Bolígrafos 2 1 400

 

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

 Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Kit escolar)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 

Solución optima del problema de optimización (Kit escolar)

 

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Máximo

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1,675€.

 


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Optimización para la alimentación en granja

 

3En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

 

 

 

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B.

 

En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €.

 

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

 

 1  Elección de las incógnitas.

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

Mínimo
A 1 5 15
B 5 1 15

 

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

 Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Alimento)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Solución optima del problema de optimización (Alimento)

 

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Mínimo

 

El coste mínimo son 100€ para X=5/2 e Y=5/2.

 

 

Programación lineal en la elaboración de medicinas

 

4Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

 

 

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

 

1  Elección de las incógnitas.

Número de pastillas grandes

Número de pastillas pequeñas

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Medicinas)

 

 

Repasa estos conceptos con clases particulares matematicas Madrid.

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 

 

Solución optima del problema de optimización (Medicinas)

 

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€ Máximo

 

El máximo beneficio es de 24€, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

 

 

 

Ejercicio sobre ofertas de ropa

 

5Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

 

 

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

 

1  Elección de las incógnitas.

nº de lotes de A

nº de lotes de B

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

A B Mínimo
Camisas 1 3 200
Pantalones 1 1 100

 

 

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

 

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Ropa))

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 

 

 Solución optima del problema de optimización (Ropa)

 

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Máximo

 

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4,000€.

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Producción de calculadoras

 

6Una compañía produce dos tipos de calculadora, el modelo C1 y el modelo C2. El tiempo de fabricación de las calculadoras es de 1 hora para el modelo C1 y de 4 horas para el modelo C2. El costo de fabricación del modelo C1 es de 30€ y el costo del modelo C2 es de 20€. La compañía dispone de 1600 horas para fabricar las calculadoras y de 18000€ para gastos viables. La ganancia en cada calculadora del modelo C1 es de 10€ y la ganancia para el modelo C2 es de 8€. ¿Cuál debe ser el plan de producción para garantizar la máxima ganancia?

 

 

Una compañía produce dos tipos de calculadora, el modelo C1 y el modelo C2. El tiempo de fabricación de las calculadoras es de 1 hora para el modelo C1 y de 4 horas para el modelo C2. El costo de fabricación del modelo C1 es de €30 y el costo del modelo C2 es de €20. La compañía dispone de 1600 horas para fabricar las calculadoras y de 18000€ para gastos viables. La ganancia en cada calculadora del modelo C1 es de €10 y la ganancia para el modelo C2 es de €8. ¿Cuál debe ser el plan de producción para garantizar la máxima ganancia?

 

1  Elección de las incógnitas.

nº de calculadoras C1

nº de calculadoras C2

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

C1 C2 Disponible
Horas 1 4 1600
Gastos 30 40 18000

 

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Calculadoras)

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 Solución optima del problema de optimización (Calculadoras)

 

Los vértices son:

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Máximo

 

Con 400 calculadoras del modelo C1 y con 300 calculadoras del modelo C2 se obtiene la máxima ganancia de 7200€.

 

Promociones en ventas de sillas y mesas

 

7Un empresario desea vender 400 mesas y 200 sillas. Se ofrecen dos promociones, 1 y 2. La promoción 1 consiste en 1 mesa y en 1 silla, que se venden a 60€; la promoción 2 consiste en 3 mesas y en 1 silla, que se venden a 100€. No se desea ofrecer menos de 40 promociones de la oferta 1 ni menos de 20 promociones de la oferta 2. ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para maximizar las ventas?

 

 

Un empresario desea vender 400 mesas y 200 sillas. Se ofrecen dos promociones, 1 y 2. La promoción 1 consiste en 1 mesa y en 1 silla, que se venden a 60€; la promoción 2 consiste en 3 mesas y en 1 silla, que se venden a 100€. No se desea ofrecer menos de 40 promociones de la oferta 1 ni menos de 20 promociones de la oferta 2. ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para maximizar las ventas?

 

1  Elección de las incógnitas.

nº de promociones 1 (P1)

nº de promociones 2 (P2)

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

P1 P2 Disponibles
Mesas 1 3 400
Sillas 1 1 200

 

 

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Mesas y SIllas)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 Solución optima del problema de optimización (Mesas y Sillas)

 

Los vértices son:

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Máximo

 

Con 100 promociones de cada una se obtiene la ganancia máxima de 16000€.

 

Ventas de ollas

 

8Julián tiene un micro emprendimiento de ollas y pone a la venta una batería de cocina en dos presentaciones, una económica y otra de lujo. El gasto que tendrá de material es de 20€ para la económica y de 80€ para la de lujo. EL gasto de mano de obra es de 50€ para la económica y para la de lujo es de 80€. Julián dispone de 160,000€ para materiales y de 240,000€ para el pago de personal. Si la batería económica se vende en 100€ y la de lujo en 230€, ¿qué modelo de producción debe seguir Julián para que su venta sea máxima?

 

 

Julián tiene un micro emprendimiento de ollas y pone a la venta una batería de cocina en dos presentaciones, una económica y otra de lujo. El gasto que tendrá de material es de 20€ para la económica y de 80€ para la de lujo. EL gasto de mano de obra es de 50€ para la económica y para la de lujo es de 80€. Julián dispone de 160,000€ para materiales y de 240,000€ para el pago de personal. Si la batería económica se vende en 100€ y la de lujo en 230€, ¿qué modelo de producción debe seguir Julián para que su venta sea máxima?

 

1  Elección de las incógnitas.

nº de baterías económicas

nº de baterías de lujo

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

Económica Lujo Disponible
Material 20 80 160,000
Mano de obra 50 80 240,000

 

 

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Ollas)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 Solución optima del problema de optimización (Ollas)

 

Los vértices son: y el vértice el cual se puede redondear al vértice ya que las cantidades solo pueden ser números enteros positivos.

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Máximo

 

Con la producción y venta de 2667 baterías económicas y 1333 baterías de lujo, Julián obtendrá la máxima venta de 573,290€.

 

Siembra de maíz y cebada

 

9Un agricultor tiene 600 hectáreas en las que puede sembrar maíz o cebada y dispone de 800 horas de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad por hectárea para el maíz son de 60€ y para la cebada es de 70€. Los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maíz es de 1 hora por hectárea y en la siembra de cebada es de 2 horas por hectárea. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe sembrar para maximizar su utilidad?, ¿Cuál es la utilidad máxima?

 

 

Un agricultor tiene 600 hectáreas en las que puede sembrar maíz o cebada y dispone de 800 horas de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad por hectárea para el maíz son de 60€ y para la cebada es de 70€. Los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maíz es de 1 hora por hectárea y en la siembra de cebada es de 2 horas por hectárea. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe sembrar para maximizar su utilidad?, ¿Cuál es la utilidad máxima?

 

1  Elección de las incógnitas.

nº de hectáreas de maíz

nº de hectáreas de cebada

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

Maíz Cebada Disponible
Hectáreas 1 1 600
Horas 1 2 800

 

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Siembra)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 Solución optima del problema de optimización (Siembra)

 

Los vértices son:

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Máximo

 

El agricultor debe sembrar 400 hectáreas de maíz y 200 de cebada para obter la utilidad máxima de 38,000€.


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Transporte de trabajadores

 

10Una empresa decide, por el día del trabajador, llevar de paseo a la playa a 400 trabajadores (por lo menos). Para ello contrata a una compañía de transporte, la cual dispone de autobuses para 60 pasajeros y microbuses para 20 pasajeros. El precio de alquiler de cada autobús es de 250€ y de cada microbús de 200€. La compañía de transporte solo dispone ese día de 8 choferes profesionales. ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para que el costo sea mínimo?

 

 

Una empresa decide, por el día del trabajador, llevar de paseo a la playa a sus 400 trabajadores. Para ello contrata a una compañía de transporte, la cual dispone de autobuses para 60 pasajeros y microbuses para 20 pasajeros. El precio de alquiler de cada autobús es de 250€ y de cada microbús de 200€. La compañía de transporte solo dispone ese día de 8 choferes profesionales. ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para que el costo sea mínimo?

 

1  Elección de las incógnitas.

nº de autobuses

nº de microbuses

 

2  Función objetivo

 

3  Restricciones

 

 

Autobueses Micobuses Disponibles
Pasajeros 60 20 400
Choferes 1 1 8

 

La primera desigualdad se debe a que al menos irán 400 empleados, pero podemos idear un plan de transporte en el que haya asientos disponibles siempre y cuando el coste sea el mínimo.

 

4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Gráfica del conjunto de soluciones posibles al problema de optimización (Pasajeros)

 

 

 

5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

 Solución optima del problema de optimización (Pasajeros)

 

Los vértices son: y el vértice el cual se puede redondear al vértice ya que las cantidades solo pueden ser números enteros positivos.

 

 

6  Calcular el valor de la función objetivo

 

€  Mínimo

 

Por lo tanto, con 7 autobuses con capacidad para 420 pasajeros la empresa gastará el mínimo de 1,750€

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗