Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

suma

suma

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz A=(aij) y un número real λ, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por λ.

Producto de un número real por una matriz

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Producto de un número real por una matriz

Matriz inversa

A · A−1  = A−1 · A = I

(A · B)−1  = B−1 · A−1

(A−1)−1  = A

(k · A)−1  = k−1 · A−1

(A t)−1  = (A −1)t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos:

Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

Cálculo por determinantes

Matriz inversa

letras

letras

letras

letras

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

Cálculo por el método de Gauss

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.