Producto y dimensión de matrices

 

Dadas las matrices:

 

 

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

a

b

 

2Determinar la dimensión de para que pueda efectuarse el producto

 

3Determina la dimensión de para que sea una matriz cuadrada.

1aEl resultado de la multiplicación es una matriz de , ya que es de y es de , mientras que la matriz es de . Por tanto no se puede efectuar el producto porque el número de columnas de no coincide con el número de filas de

 

1bEl resultado de la multiplicación es una matriz de , ya que es de y es de , mientras que la matriz es de . Por tanto si se puede efectuar el producto porque el número de columnas de coincide con el número de filas de y el resultdo es una matriz de

 

2La matriz es de ; es de ; así, para que se pueda efectuar la multiplicación se requiere que el número de filas de coincida con el número de columnas de y que el número de columnas de coincida con el número de filas de . Por lo tanto, es de

 

3La matriz tiene dimensión , por lo que su transpuesta es de . Para poder multiplicala por , el número de columnas de tien que coincidir con el número de filas de y su número de filas debe coincidir con el número de columnas de . Así, es de

 

 

Producto de matrices

 

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz

 

 

para que resulte la matriz

 

Denotamos la matriz buscada por

 

 

Resolvemos

 

 

Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

 

Resolviendo el sistema se obtiene

 

 

Así, la matriz buscada es

 

 

Conmutatividad de matrices

 

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

 

Denotamos la matriz buscada por

 

 

Resolvemos

 

 

Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

 

Resolviendo el sistema se obtiene

 

 

Así, la matriz buscada es

 

 

para cualesquiera valores reales de

 
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Inversa de una matriz

 

Calcular la matriz inversa de:

 

1 Construir una matriz del tipo

 

 

2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, , en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa .

 

Hacemos

 

 

Hacemos

 

 

Hacemos

 

 

Hacemos y

 

 

3La matriz inversa es

 

 

 

Rango de una matriz

 

Calcular el rango de las matrices siguientes:

 

 

Matriz Realizamos operaciones elementales de filas: 

1Hacemos

 

 

2Calculamos el determinante de la submatriz

 

 

Por tanto .

 

Matriz

 

1Notamos que por lo que

 

2Calculamos el determinante de la submatriz de 

 

 

Por tanto .

 

 

Ecuación matricial

 

Siendo:

 

 

Calcular el valor de en la ecuación

1Despejamos la variable

 

 

2Calculamos

 

 

3Resolvemos y obtenemos

 

 

 

Problema matricial

 

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: y . En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente estanterías grandes y pequeñas de tipo , grandes y pequeñas de tipo , y grandes y pequeñas de tipo . Cada estantería grande lleva tornillos y soportes, y cada estantería pequeña lleva tornillos y soportes, en cualquiera de los tres modelos.

 

1Representar esta información en dos matrices.

 

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

1Información en dos matrices.

 

Filas: Modelos , Columnas:  Tipos

 

 

Matriz de los elementos de las estanterías:

 

Filas: Tipos ,  Columnas:

 

 

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

 

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Filas:   Modelos ; Columnas:  Tipos

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗