Ejercicios y problemas de matrices

1Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A - B;     A x B;     B x A;     A^t.

2Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B) ²;       (A - B) ²;       (B) ³;        A · B ^t · C.

3Dadas las matrices:

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

1(A ^t · B ) · C

2(B · C^t ) · A^t

2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

3Determina la dimensión de M para que C^t · M sea una matriz cuadrada.

4 Demostrar que: A² - A - 2 I = 0, siendo:

5Sea A la matriz  . Hallar Aⁿ , para n

6Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz .

7Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

8Calcular la matriz inversa de:

9Calcular la matriz inversa de:

10Calcular el rango de la matriz siguiente:

11Hallar el rango de la matriz siguiente:

12Calcular el rango de la matriz siguiente:

13Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

14Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

A X + 2 B = 3 C

15Resolver; en forma matricial, el sistema:

16Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

17Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1Representar esta información en dos matrices.

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

18Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

1.Representar la información en dos matrices.

2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

1

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A - B;     A x B;     B x A;     A^t.

 

 

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

2

Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B) ²;       (A - B) ²;       (B) ³;        A · B ^t · C.

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

3

Dadas las matrices:

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

1(A ^t · B ) · C

(A^t_{3 x 2} · B_{2 x 2} ) · C_{3 x 2} = (A^t · B )_{3 x 2} · C_{3 x 2}

  No se puede efectuar el producto porque el número de columnas de
(A^t · B ) no coincide con el nº de filas de C.

2(B · C^t ) · A^t

(B_{2 x 2} · C^t_{2 x 3} ) · A^t_{3 x 2} = (B · C )_{2 x 3} · A^t_{3 x 2} =

=(B · C ^t · A ^t ) _{2 x 2}

2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

A_{3 x 2} ·  M_{m x n} ·  C_{3 x 2}            m = 2

3Determina la dimensión de M para que C^t · M sea una matriz cuadrada.

  C^t_{2 x 3}  · M_{m x n}                     m = 3     n = 3

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

4

Demostrar que: A² - A - 2 I = 0, siendo:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

5

Sea A la matriz  . Hallar Aⁿ , para n

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

6

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz .

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

7

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

8

Calcular la matriz inversa de:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

F2 - F1	F3 + F2
F2 - F3	F1 + F2
(-1) F2	La matriz inversa es:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

9

Calcular la matriz inversa de:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

10

Calcular el rango de la matriz siguiente:

F₁ - 2 F₂

F₃ - 3 F₂

F₃ + 2 F₁

Por tanto r(A) =2.

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

11

Hallar el rango de la matriz siguiente:

F₃ = 2F₁

F₄ es nula

F₅ = 2F₂ + F₁

r(A) = 2.

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

12

Calcular el rango de la matriz siguiente:

F₂ = F₂ - 3F₁

F₃= F₃ - 2F₁

Por tanto r(A) = 3 .

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

13

Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

14

Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

15

Resolver; en forma matricial, el sistema:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

16

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

Multiplicamos la segunda ecuación por -2

Sumamos miembro a miembro

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro a miembro obtenemos:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

17

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1Representar esta información en dos matrices.

Filas:   Modelos A, B, C                  Columnas:  Tipos G, P

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas:  Tipos G, P                  Columnas:  T, S

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Ejercicios y problemas resueltos de matrices

18

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

1.Representar la información en dos matrices.

Matriz de producción:

 Filas:   Modelos A y B          Columnas:  Terminaciones N, L, S   

Matriz de coste en horas:

  Filas:  Terminaciones N, L, S   Columnas:  Coste en horas: T, A

2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.