Ejercicios de matrices

1Dadas las matrices:

matrices

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     At.

2Sean las matrices:

matrices

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B)2;       (A − B)2;       (B)3;        A · Bt · C.

3Dadas las matrices:

matrices

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

1(At · B ) · C

2(B · Ct ) · At

2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

3Determina la dimensión de M para que Ct · M sea una matriz cuadrada.

4 Demostrar que: A2 − A − 2 I = 0, siendo:

matriz

5Sea A la matriz  matriz. Hallar An , para n ∈ ENE

6Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz matriz para que resulte la matriz matriz.

7Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

matriz

8Calcular la matriz inversa de:

Matriz

9Calcular la matriz inversa de:

Matriz

10Calcular el rango de la matriz siguiente:

Matriz

11Hallar el rango de la matriz siguiente:

rango

12Calcular el rango de la matriz siguiente:

rango

13Siendo:

Matrices

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

14Siendo:

Matrices

Resolver la ecuación matricial:

A X + 2 B = 3 C

15Resolver; en forma matricial, el sistema:

Sistema

16Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

sistema

17Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1 Representar esta información en dos matrices.

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

18Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración .

1 Representar la información en dos matrices.

2 Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

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Ejercicio 1 resuelto

Dadas las matrices:

matrices

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     At.


operaciones


operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

Ejercicio 2 resuelto

Sean las matrices:

matrices

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B)2;       (A − B)2;       (B)3;        A · Bt · C.

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

Ejercicio 3 resuelto

Dadas las matrices:

matrices

 1 Justificar si son posibles los siguientes productos:

 1 (At · B ) · C

(At3 x 2 · B2 x 2 ) · C3 x 2 = (At · B )3 x 2 · C3 x 2

  No se puede efectuar el producto porque el número de columnas de
(At · B ) no coincide con el nº de filas de C.

 2 (B · Ct ) · At

(B2 x 2 · Ct2 x 3 ) · At3 x 2 = (B · C )2 x 3 · At3 x 2 =

= (B · Ct · At2 x 2

 2 Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

A3 x 2 ·  Mm x n ·  C3 x 2            m = 2 n = 3

 3 Determina la dimensión de M para que Ct · M sea una matriz cuadrada.

  Ct2 x 3  · Mm x n                     m = 3     n = 3

Ejercicio 4 resuelto

Demostrar que: A2 − A − 2 I = 0, siendo:

matriz

SoluciÓn

SoluciÓn

Ejercicio 5 resuelto

Sea A la matriz  matriz. Hallar An , para n Pertenece ENE

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 6 resuelto

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz matriz para que resulte la matriz matriz.

solución

solución

Ejercicio 7 resuelto

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

matriz

solución

solución

solución

Ejercicio 8 resuelto

Calcular la matriz inversa de:

Matriz

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I)

paso 1º

 2  Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

F2 − F1 F3 + F2
PASO 2º PASO 3º
F2 − F3 F1 + F2
PASO 4º PASO 5º
(−1) F2 La matriz inversa es:
PASO 6º Inversa

Ejercicio 9 resuelto

Calcular la matriz inversa de:

Matriz

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I)

Ampliar

 2  Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

Matriz inversa

Matriz inversa

Matriz inversa

Matriz inversa

Ejercicio 10 resuelto

Calcular el rango de la matriz siguiente:

Matriz

F1 − 2 F2

paso 1

F3 − 3 F2

paso 2

F3 + 2 F1

paso 3

Por tanto r(A) =2.

Ejercicio 11 resuelto

Hallar el rango de la matriz siguiente:

rango

F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2.

Ejercicio 12 resuelto

Calcular el rango de la matriz siguiente:

rango

F2 = F2 − 3F1

F3 = F3 − 2F1

rango

Por tanto r(A) = 3 .

Ejercicio 13 resuelto

Siendo:

Matrices

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales


Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales


Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales


Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales


Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ecuaciones matriciales

Ejercicio 14 resuelto

Siendo:

Matrices

Resolver la ecuación matricial:

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

ECUACIÓN MATRICAL

Ejercicio 15 resuelto

Resolver; en forma matricial, el sistema:

Sistema

SoluciÓn del sistema

SoluciÓn del sistema

SoluciÓn del sistema

SoluciÓn del sistema

SoluciÓn del sistema

SoluciÓn del sistema

SoluciÓn del sistema

SoluciÓn del sistema

Ejercicio 16 resuelto

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

sistema

Multiplicamos la segunda ecuación por −2

operaciones

Sumamos miembro a miembro

operaciones

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro a miembro obtenemos:

operaciones

Ejercicio 17 resuelto

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

 1 Representar esta información en dos matrices.

Filas:   Modelos A, B, C                  Columnas:  Tipos G, P

matriz

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas:  Tipos G, P                  Columnas:  T, S

matriz

 2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

solución

Ejercicio 18 resuelto

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

 1 Representar la información en dos matrices.

Matriz de producción:

 Filas:   Modelos A y B          Columnas:  Terminaciones N, L, S   

matriz

Matriz de coste en horas:

  Filas:  Terminaciones N, L, S   Columnas:  Coste en horas: T, A

matriz

 2 Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

SoluciÓn

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