Matriz inversa

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A−1  = A−1 · A = I

Propiedades

 1  (A · B)−1  = B−1 · A−1

 2  (A−1)−1  = A

 3  (k · A)−1  = k−1 · A−1

 4  (At)−1  = (A−1)t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

Matriz

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

paso 1º

 2  Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

F2 = F2 − F1

PASO 2º

F3 = F3 + F2

PASO 3º

F2 = F2 − F3

PASO 4º

F1 = F1 + F2

PASO 5º

F2 = (−1) F2

PASO 6º

La matriz inversa es:

Inversa


 
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