Determinantes. Ejercicios y problemas

1Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

              

2Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

              

3 Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

      

4Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

6 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

7 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

                 

8 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

     

9Calcular los determinantes de Vandermonde:

      

10 Hallar la matriz inversa de:

11 Para qué valores de x la matriz       no admite matriz inversa?

12 Calcular el rango de las siguientes matrices:

13 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

2 X · A + B = C

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

1

Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

              

Tiene dos líneas proporcionales.

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

2

Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

              

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

3

Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

      

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

4

Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

5

Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

6

Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

7

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

                 

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

8

Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

     

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

9

Calcular los determinantes de Vandermonde:

      

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

10

Hallar la matriz inversa de:

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

11

Para qué valores de x la matriz       no admite matriz inversa?

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

12

Calcular el rango de las siguientes matrices:

|2|=2 ≠0

r(A) = 2

r(B) = 4

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c₅ = -2 · c₁ + c₂

r(C) = 2

 

Determinantes. Ejercicios y problemas resueltos

13

Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

|A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A^-1 .

A^-1 (A · X) = A^-1 · B

( A^-1 · A) · X = A^-1 · B

I · X = A^-1 · B

X = A^-1 · B

2 X · A + B = C

|A| = 1 ≠ 0

(X · A + B) - B = C - B

X · A + (B - B) = C - B

X · A + 0 = C - B

X · A = C - B

X · A · A^-1 = ( C - B) · A^-1

X (A · A^-1 ) = ( C - B) · A^-1

X · I = ( C - B) · A^-1

X = ( C - B) · A^-1