Ejercicios y problemas de determinantes

1Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

determinante        determinante      

2Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

determinantes

determinante               determinante

3 Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

determinante       determinante

4Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

determinante

5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

igualdad

igualdad

6 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

ecuación

ecuación

7 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

determinante          determinante        determinante

8 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

determinante      determinante

9Calcular los determinantes de Vandermonde:

determinante       determinante

10 Hallar la matriz inversa de:

matriz

11 Para qué valores de x la matriz    matriz   no admite matriz inversa?

12 Calcular el rango de las siguientes matrices:

matriz

13 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

matrices

2X · A + B = C

matrices

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Ejercicio 1 resuelto

Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

determinante        determinante      


solución

Tiene dos líneas proporcionales.


solución

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

Ejercicio 2 resuelto

Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

determinantes

determinante               determinante


solución

solución

Ejercicio 3 resuelto

Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

determinante       determinante

solución

solución

Ejercicio 4 resuelto

Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

determinante


solución

Ejercicio 5 resuelto

Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

igualdad

solución

igualdad

solución

Ejercicio 6 resuelto

Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

ecuación

solución

ecuación

solución

Ejercicio 7 resuelto

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

determinante          determinante        determinante


solución

solución

solución

Ejercicio 8 resuelto

Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

determinante      determinante

solución

solución

Ejercicio 9 resuelto

Calcular los determinantes de Vandermonde:

determinante       determinante


solución

solución

Ejercicio 10 resuelto

Hallar la matriz inversa de:

matriz

solución

Ejercicio 11 resuelto

Para qué valores de x la matriz    matriz   no admite matriz inversa?

solución

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

Ejercicio 12 resuelto

Calcular el rango de las siguientes matrices:

matriz

|2|=2 ≠0

operaciones

r(A) = 2


matriz

determinantes

r(B) = 4


matriz

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c5 = −2 · c1 + c2

matrices

Solución

r(C) = 2

Ejercicio 13 resuelto

Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

matrices

|A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A−1 .

A−1 (A · X) = A−1 · B

( A−1 · A) · X = A−1 · B

I · X = A−1 · B

X = A−1 · B

solución

 2  X · A + B = C

matrices

|A| = 1 ≠ 0

(X · A + B) − B = C − B

X · A + (B − B) = C − B

X · A + 0 = C − B

X · A = C − B

X · A · A−1 = ( C − B) · A−1

X (A · A−1 ) = ( C − B) · A−1

X · I = ( C − B) · A−1

X = ( C − B) · A−1

solución

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