Ejercicios de determinantes

1Calcula el valor del determinante:

determinante

2Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

determinante          determinante        determinante

3Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

determinante

4 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

determinante      determinante

5Calcular los determinantes de Vandermonde:

determinante       determinante

6Calcular el valor de los siguientes determinantes:

determinante           determinante

7Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

determinante        determinante      

8Si el valor del determinante determinante. Calcular el valor de: determinante

9Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

determinantes determinantedeterminante

10Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

determinante       determinante

11Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

determinante

12Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

Determinante

13Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

 1  igualdad

 2  igualdad

14Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

 1  ecuación

 2  ecuación

15Hallar la matriz inversa de:

matriz

16Para qué valores de x la matriz    matriz   no admite matriz inversa?

17¿Para qué valores de x la matriz    matriz    no admite matriz inversa?

18Calcular el rango de las siguientes matrices:

 1  matriz

 2  matriz

 3 matriz

19Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

 1 A · X = B

 2 X · A + B = C

matrices

20Resolver las ecuación matricial:

A · X + 2 · B = 3 · C

matrices

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Ejercicio 1 resuelto

Calcula el valor del determinante:

determinante

Determinante

Operaciones

Adjunto

Aplicamos la regla de Sarrus

2[0 · (−6) · (−3) + 3 · (−9) . 20 + 1 · (76) · (−1) −

− 1 · (−6) ·20 − 3 · (76) · (−3) − 0 · (−1) · (−9)] = 376

Ejercicio 2 resuelto

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

determinante          determinante        determinante

solución

solución

solución

Ejercicio 3 resuelto

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

determinante

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 4 resuelto

Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

determinante      determinante

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 5 resuelto

Calcular los determinantes de Vandermonde:

determinante       determinante

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 6 resuelto

Calcular el valor de los siguientes determinantes:

determinante           determinante

solución

solución

solución

solución

solución

solución

Ejercicio 7 resuelto

Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

determinante        determinante      

solución solución

Tiene dos líneas proporcionales.

solución

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

Ejercicio 8 resuelto

Si el valor del determinante determinante.

Calcular el valor de: determinante

solución

solución

Ejercicio 9 resuelto

Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

determinantes

determinante               determinante

soluciónsolución

solución

Ejercicio 10 resuelto

Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

determinante       determinante

solución

solución

Ejercicio 11 resuelto

Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

determinante

solución

Ejercicio 12 resuelto

Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

Determinante

solución

solución

Como es múltiplo de 21, se tiene que es divisible por 21.

Ejercicio 13 resuelto

Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

 1  igualdad

solución

solución

solución

solución

solución

 2  igualdad

solución

Ejercicio 14 resuelto

Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

 1  ecuación

solución

2 ecuación

solución

solución

Ejercicio 15 resuelto

Hallar la matriz inversa de:

matriz

solución

solución

solución

Ejercicio 16 resuelto

Para qué valores de x la matriz    matriz   no admite matriz inversa?

solución

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

Ejercicio 17 resuelto

¿Para qué valores de m la matriz    matriz    no admite matriz inversa?

solución

solución

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A−1

Ejercicio 18 resuelto

Calcular el rango de las siguientes matrices:

 1  matriz

|2|=2 ≠0

operaciones

operaciones

operaciones

r(A) = 2

 2 matriz

determinantes

determinantes

r(B) = 4

 3  matriz

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c5 = −2 · c1 + c2

matrices

Solución

r(C) = 2

Ejercicio 19 resuelto

Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

matrices

|A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A−1 .

A−1 (A · X) = A−1 · B

( A−1 · A) · X = A−1 · B

I · X = A−1 · B

X = A−1 · B

solución

solución

matrices

|A| = 1 ≠ 0

(X · A + B) − B = C − B

X · A + (B − B) = C − B3

X · A + 0 = C − B

X · A = C − B

X · A · A−1 = ( C − B) · A−1

X (A · A−1 ) = ( C − B) · A−1

X · I = ( C − B) · A−1

X = ( C − B) · A−1

solución

solución

solución

Ejercicio 20 resuelto

Resolver las ecuación matricial:

A · X + 2 · B = 3 · C

matrices

|A| = 1 ≠ 0

(A · X +2 · B) − 2 · B = 3 · C − 2B

A· X + ( 2 · B− 2 · B) = 3 · C − 2B

A· X + 0= 3 · C − 2B

A· X = 3 · C − 2B

( A−1 · A) · X = A−1 · (3 · C − 2B)

I · X = A−1 · (3· C − 2B)

X = A−1 · (3 · C − 2B)

solución

solución

solución

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