A continuación encontrarás una serie de problemas y ejercicios que se resuelven empleando trigonometría. En las soluciones te describimos a detalle cada uno de los pasos realizados
 

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Vamos

Conversión de grados

 

1 Convierte los siguientes ángulos de radianes a sexagesimal

 

a

 

b

 

c

 

Recordemos que la fórmula para calcular un ángulo en radianes a grados es

 

 

donde es el ángulo en radianes. Por lo tanto, los ángulos en grados son:

 

a

 

Aquí tenemos que . Por lo tanto, los grados son

 

 

Para obtener los minutos, multiplicamos la parte decimal por 60:

 

 

Para obtener los segundos, multiplicamos de nuevo la parte decimal por 60:

 

 

Por lo tanto, el ángulo en sexagesimal es

 

b

 

Al igual que en el ejercicio anterior, utilizamos la fórmula

 

 

c

 

Aquí también utilizamos la misma fórmula:

 

 

2 Expresa en radianes los siguientes ángulos:

 

a

 

b

 

c

 

La fórmula para convertir de grados a radianes es muy simpliar a la anterior

 

 

Así, los ángulos son:

 

a

 

Utilizamos la fórmula

 

 

Por lo tanto, el ángulo mide radianes.

 

b

 

Utilizamos la fórmula

 

 

Por lo tanto, el ángulo mide radianes.

 

c

 

Utilizamos la fórmula

 

 

Que no se puede simplificar ya que 127 es primo. Por lo tanto, el ángulo mide .

 

Cálculo de razones trigonométricas a partir de una dada

 

3 Sabiendo que y que , calcula las razones trigonométricas restantes para el ángulo .

 

En primer lugar, sabemos que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante del plano cartesiano. En este cuadrante tenemos que pero . Por tanto,

 

 

De aquí se sigue que

 

 

Como ya tenemos y , entonces las otras identidades son más sencillas.

 

 

Observemos que tanto en la cotangente como en la cosecante se puede racionalizar el resultado. Por lo que también es correcto si tuviéramos

 

 

Lo cual se obtiene si multiplicamos los resultados anteriores por , con lo que evitaríamos tener radicales en el denominador.

 

4 Sabiendo que y que , calcula las restantes razones trigonométricas para el ángulo .

 

El ángulo se encuentra en el 3er cuadrante del plano cartesiano. De aquí sabemos que y .

 

Por otro lado, la tangente se relaciona con la secante con su identidad pitagórica:

 

 

De donde tenemos que

 

 

Como , entonces . Por lo tanto,

 

 

De aquí se sigue que

 

 

Notemos que también es una respuesta correcta (al racionalizar el resultado anterior).

 

Sabemos, también, que . De aquí se sigue que

 

 

Las dos identidades que faltan se calculan de forma muy sencilla:

 

 

y

 

 

5 Sabieno que y que , calcula las razones trigonométricas restantes para el ángulo .

 

Notemos, en primer lugar, que el ángulo está en radianes. Además, nos encontramos en el primer cuadrante del plano cartesiano, por lo que y .

 

Por otro lado, la secante se relaciona con por medio de su identidad pitagórica:

 

 

Además, ya que y , por lo que

 

 

Asimismo,

 

 

Y como tenemos que , entonces se sigue que

 

 

Con esto las últimas dos identidades trigonométricas son muy sencillas de calcular:

 

 

y

 

 

Cálculo de razones trigonométricas a partir del ángulo

 

6 Calcula el seno, coseno y tangente para los siguientes ángulos:

 

a

 

b

 

Aquí asumiremos ya tenemos memorizadas el seno y el coseno para algunos ángulos muy comunes (, etcétera):

 

a

 

Para calcular el seno del ángulo, utilizaremos algunas identidades de traslación. Observemos que

 

 

Similarmente,

 

 

Por último

 

 

b

 

Al igual que en el caso anterior, utilizaremos algunas identidades de traslación. Observemos que

 

 

Similarmente,

 

 

Por último

 

 

7 Calcula las razones trigonométricas para los siguientes ángulos:

 

a

 

b

 

a

 

Primero debemos encontrar un ángulo que esté entre y y que igual a . Para esto, dividimos 2655 entre 360 y el residuo será el ángulo que buscamos:

 

 

donde el residuo es 135. Por lo tanto

 

 

Similarmente,

 

 

Por último,

 

 

b

 

Este es muy similar al caso anterior. Dividimos primero 840 entre 360 y nos quedamos con el residuo:

 

 

Por lo que . De este modo:

 

 

Similarmente,

 

 

Por último,

 

 

Resolución de triángulos

 

8 Dado el triángulo rectángulo ABC, rectángulo en el ángulo , se conoce que y . Encuentra los otros ángulos y lados.

 

Observemos el siguiente triángulo:

 

Triangulo ABC.

 

Ahí podemos ver los datos que nos faltan (los lados , y el ángulo ). El más sencillo es el ángulo , puesto que . Por lo que

 

 

Como el triángulo es rectángulo, entonces podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la longitud de los lados restantes. Sabemos que

 

 

por lo que

 

 

Similarmente, como , entonces

 

 

Con lo que ya encontramos todos los datos faltantes.

 

9 Del triángulo ABC, rectángulo en el ángulo , conocemos que y . Encuentra los otros ángulos y lados.

 

Observemos el triángulo de este ejercicio:

 

Triangulo ABC. 2

 

Ahí podemos ver los datos que nos faltan (los lados , y el ángulo ). Al igual que en el caso anterior, el más sencillo es el ángulo , ya que . Por lo que

 

 

Ahora no tenemos la hipotenusa. Por tanto debemos utilizar la tangente para empezar:

 

 

por lo que

 

 

Similarmente, como , entonces

 

 

Con lo que ya encontramos todos los datos faltantes.

 

10 Del triángulo ABC, rectángulo en el ángulo , conocemos que y . Encuentra los ángulos agudos y el lado restante.

 

Observemos el triángulo:

 

Triangulo ABC. 3

 

Los datos que nos faltan son el cateto y los ángulos y . Por el teorema de pitágoras, sabemos que , de modo que

 

 

Así, . Además,

 

 

Por lo que . Por último, debido a que los ángulos suman :

 

 

Con lo que terminamos de resolver el triángulo.

 

11 Dado un triángulo , se conoce que , y . Encuentra los ángulos y el lado restantes.

 

Observemos que este triángulo no es rectángulo. De hecho, el triángulo se muestra en la siguiente figura:

 

triángulo ABC no rectángulo

 

Donde vemos que nos faltan los ángulos , y el lado . Como el triángulo no es rectángulo, entonces no podemos utilizar el teorema de pitágoras, pero sí podemos utilizar el teorema de los cosenos:

 

 

donde ya tenemos todos los datos. Tenemos

 

 

Por lo tanto . Con esto, ya podemos calcular cualquiera de los ángulos restantes utilizando la ley de los senos:

 

 

de donde se sigue que

 

 

de donde se sigue que .

 

Por último,

 

 

con lo que resolvemos todo el triángulo por completo.

 

Problemas de la vida cotidiana

 

12 Un árbol de 50 metros de altura proyecta una sombra de 60 metros de longitud. Encuentra el ángulo de elvación del Sol en ese momento.

 

Observemos que el árbol (lado ) y la sombra (lado ) forman el siguiente triángulo:

 

triángulo formado por el árbol y su sombra

 

Notemos que no es necesario calcular el lado . Buscamos el ángulo , cuya tangente está dada por

 

 

Utilizando el arcotangente, obtenemos

 

 

Que es el ángulo que buscábamos.

 

13 Un dirigible está volando a 800 metros de altura. Observa un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿Qué distancia debe recorrer el dirigible en linea recta, manteniendo la altura, para estar exactamente sobre el pueblo?

 

Observemos que entre el pueblo y el dirigible se forma el siguiente triángulo:

 

triángulo formado por el dirigible

 

donde la distancia incógnita la denotamos por . La altura del dirigible la denotamos por y el ángulo de depresión coincide con el ángulo .

 

Sabemos que la tangente de se calcula utilizando

 

 

por lo que

 

 

Por tanto, el dirigible debe recorrer 3763.70 metros, o 3.764 km.

 

14 Hallar el radio de una circunferencia donde una cuerda de 24.6 metros tiene un arco de 70° correspondiente.

 

Observemos la siguiente figura:

 

Triángulo formado por el radio y el extremo que une al centro con el punto medio de la cuerda

 

Notemos que se forma un triángulo rectángulo con los puntos donde es el punto medio del arco.

 

El radio es la hipotenusa de este triángulo, la longitud de es la mitad de la cuerda, es decir,

 

 

y el ángulo mide (la mitad del arco). Sabemos que

 

 

ya que es la hipotenusa. Por tanto,

 

 

por lo tanto, el radio mide 21.44 metros.

 

15 Calcular el área de una parcela triángulo, sabiendo que dos de sus lados miden y , y el ángulo entre ellos es de 70°

 

Existen varias formas de resolver este problema. Podemos utilizar la fórmula de Herón o podemos intentar calcular alguna de sus alturas. Primero observemos el triángulo:

 

parcela triangular

 

Donde , y .

 

Si trazamos la altura que es perpendicular a , notemos que se forma un triángulo rectángulo donde es un cateto y es la hipotenusa. Además, notemos que el seno de es

 

 

de modo que

 

 

Por lo tanto, el área es

 

 

16 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa en un ángulo de 30° sobre el nivel de la tierra, y si nos acercamos entonces la copa se observa en un ángulo de 60° sobre la tierra.

 

Observemos la siguiente figura, la cual es una representación del problema:

 

triángulos formados por un árbol y dos observadores

 

Notemos que hay varias formas de resolver este problema. Una es encontrar la distancia resolviendo el triángulo ; después utilizamos esa distancia para encontrar la altura.

 

Para resolver el triángulo, notemos que el ángulo del triángulo es

 

 

por tanto, ya podemos utilizar el teorema de los senos para resolver triángulo. Sin embargo, necesitamos primero al ángulo , que es,

 

 

Por el teorema de los senos se tiene que

 

 

donde

 

 

Por lo tanto,

 

 

Con esto ya podemos calcular la altura del árbol. Notemos que el triángulo es rectángulo. Por tanto,

 

 

Por tanto,

 

 

Por tanto, el árbol mide 8.66 metros de altura.

 

17 Un octágono regular tiene lados que miden 12 metros. Encuentra los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

 

Observa la siguiente figura de un octágono con sus circunferencias inscritas y circunscritas:

 

octágono y sus circunferencias

 

Notemos que se forma un triángulo rectángulo entre los puntos donde es el punto medio de cualquier lado del octágono. Observemos con más detalle este triángulo rectángulo:

 

detalle del triángulo formado por el apotema de un octágono y el radio de la circunferencia circunscrita

 

Sabemos que el ángulo . Por lo que el ángulo del triángulo rectángulo será . Además, el lado .

 

Los dos lados del triángulo que nos faltan son, de hecho, los radios de las circunferencias. Empezando por el lado , tenemos que

 

 

Por lo que

 

 

Por lo tanto, el radio de la circunferencia inscrita es 14.49 metros.

 

Luego, el lado satisface

 

 

de modo que . Es decir, el radio de la circunferencia circunscrita es 15.68 metros.

 

Problema de distancia entre dos ciudades

 

18 Tres ciudades se encuentran distribuidas de forma triangular y sus caminos son en línea recta. Si la distancia de a es de 12 km, la distancia de a es de 10 km y el ángulo es . Encuentra la distancia entre las ciudades .

 

La figura que representa el problema forma un triángulo

 

Distancia entre dos ciudades

 

Notemos que para calcular el lado basta aplicar la ley de los cosenos

 

 

Realizando las operaciones, obtenemos

 

 

Que es la distancia entre las ciudades que buscábamos.

 

Problema de altura de una cometa

 

19 Pedro vuela una cometa para lo cual emplea 40 m de cuerda. Si el ángulo de elevación es de , ¿cuál es la altura de la cometa respecto al piso?

 

Observemos que la cuerda de cometa (lado ) y la proyección de la cometa al piso (lado ) forman el siguiente triángulo rectángulo:

 

Altura de una cometa

 

Notemos que la expresión del seno del ángulo es:

 

 

Despejando la altura , obtenemos

 

 

Que es la altura que buscábamos.

 

Problema de la altura de un edificio

 

20 Un edificio proyecta una sombra de 60 metros de longitud, siendo el ángulo de elevación del sol en ese momento. Encuentra la altura del edificio.

 

Observemos que el edificio (lado ) y la sombra (lado ) forman el siguiente triángulo rectángulo:

 

Altura de un edificio

 

Notemos que la expresión de la tangente del ángulo de , está dada por

 

 

Despejando la altura , obtenemos

 

 

Que es la altura que buscábamos.

 

Demostración de identidades trigonométricas

 

21 Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:

 

a

 

b

 

c

 

a

 

Empezamos escribiendo a y con su definición en senos y cosenos:

 

 

Después realizamos la suma de las fracciones (con el común denominador):

 

 

Notamos que , por lo que

 

 

las cuales son las definiciones de y . Por tanto,

 

 

b

 

Aquí conviene empezar del lado derecho de la ecuación:

 

 

Factorizamos el

 

 

Recordemos que la identidad pitagórica de la es , de modo que tenemos

 

 

que era justo lo que queriamos demostrar.

 

c

 

Aquí tambien conviene empezar del lado derecho de la identidad, factorizando :

 

 

Notamos que , por lo que

 

 

que era lo que buscábamos demostrar.

 

22 Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:

 

a

 

b

 

a

 

La forma más sencilla de demostrar esta identidad es empezar del lado izquiero y escribir las relaciones en términos de senos y cosenos:

 

 

Ya que se cancela. Esta identidad era posible demostrarla en una sola línea.

 

b

 

Empezamos del lado izquierdo y escribimos las relaciones en términos de senos y cosenos:

 

 

Luego sumamos las fracciones utilizando el común denominador:

 

 

ya que . Por lo tanto, llegamos a lo que queríamos demostrar.

 


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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗