Ejercicios de sucesiones y progresiones II

1Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

1Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

2Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de la siguiente sucesion: Monotonia y cotas

3Hallar la fracción genaratriz de 0.18181818...

4Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros

5Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2

6Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

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Ejercicio 1 resuelto

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

Soluciones:

1Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d= 2.

El denominador es una progresión geométrica con una r= 2.

Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión geométrica con una r= 3.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

Cálculo del término general de una sucesión

Ejercicio 2 resuelto

Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de la siguiente sucesión: Monotonia y cotas

Monotonia y cotas

Es monotona estrictamente creciente.

a1= 0.5

a3= 0.6666

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1

Sucesión convergente

Está acotada inferiormente. 1/2 es el mínimo.

Está acotada superiormente. 1 supremo.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 ≤ a n < 1

Ejercicio 3 resuelto

Hallar la fracción genaratriz de 0.18181818...

0.18181818...= 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ...

Es una progresión geométrica decreciente ilimitada.

a1= 0.18;             r= 0.01;         Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

S= 0.18/(1- 0.01)= 2/11

Ejercicio 4 resuelto

Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1 €, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

a1= 1       r= 2;         n = 20;        suma de n términos consecutivos

S= (1 · 220 − 1 · 2 − 1)/(2 − 1) = 1 048 575 €.

Ejercicio 5 resuelto

Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

Término central flecha x

flecha x - d

flecha x + d.

x − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511/2

d = ± 5/2

13/2, 9, 23/2

23/2, 9, 13/2

Ejercicio 6 resuelto

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

cuadrado

lados y áreas

lados y áreas

suma

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