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Vamos

Término general y propiedades

 

1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Numerador

Es constante igual a

Denominador

Es una progresión aritmética de

Comienza en 1 por lo que el denominador está dado por

 

2

 

Numerador

Es una progresión aritmética con una

Comienza en por lo que el númerador está dado por

Denominador

Es una progresión aritmética de

Comienza en por lo que el númerador está dado por

 

3

 

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

Numerador

Es una progresión aritmética con una

Comienza en por lo que el númerador está dado por

Denominador

Es una progresión aritmética de

Comienza en por lo que el númerador está dado por

 

4

 

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por

 

5

 

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

Numerador

Si prescindimos del signo, es una progresión aritmética con una

Comienza en por lo que el númerador está dado por

Denominador

Es una progresión aritmética de

Comienza en 1 por lo que el númerador está dado por

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (–1)n+1

 

6

 

Es una sucesión oscilante

Los términos impares forman progresión aritmética con una , si no tenemos en cuenta los términos pares

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una

 

7 

 

Notamos que podemos reescribir la sucesión como

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por

 

8 

 

Notamos que podemos reescribir la sucesión de la siguiente manera,

Es una sucesión oscilante

Numerador

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una , si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

Denominador

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de (sin contar los términos pares)

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle

Los términos pares forman una sucesión constante.

 

2 Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

    •  

 

 

 

1

 

Calculamos los primero términos

Es monótona estrictamente decreciente.

Además, si calculamos para valores muy grandes de obtenemos

Por lo tanto, es una sucesión convergente y el límite es 0.5

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo

0.5  es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior

Por tanto la sucesión está acotada

 

2

 

Calculamos los primeros términos

No es monótona

No es convergente ni divergente

No está acotada

 

3

 

No es monótona

Es convergente porque el límite = 0

Está acotada superiormente, 1 es el máximo

Está acotada inferiormente, –1 es el mínimo

Está acotada

 

Encuentra la progresión

 

3 El cuarto término de una progresión aritmética es 10 , y el sexto es 16. Escribir la progresión.

 

Los términos que sabemos son

Usando la fórmula

 

Podemos calcular

Usando la misma fórmula podemos calcular el primer término de la sucesión

 

 

4 El segundo término de una progresión geométrica es 6 , y el quinto es 48. Escribir la progresión

 

Los términos que sabemos son

Usando la fórmula

 

Podemos calcular

Usando la misma fórmula calculamos el primer término

 

 

Encuentra la suma, diferencia o producto de términos

 

5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5

 

Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión

Los datos que tenemos son

Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula

Usando la fórmula

  

Podemos obtener la suma de los primeros términos

 

6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en

 

Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión

Los datos que tenemos son

Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula

Con la fórmula

  

Podemos obtener la suma de los primeros términos

 

7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que

 

Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión

Los datos que tenemos son

Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula

Con la fórmula

  

Podemos obtener la suma de los primeros términos

 

8 El primer término de una progresión aritmética es , y el décimoquinto es . Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

 

Los datos que tenemos son

Usando la fórmula

Podemos obtener el valor de

Con la fórmula

  

Podemos obtener la suma de los primeros términos

 

9 El primer término de una progresión geométrica es , y el octavo es . Hallar la razón, y la suma y el producto de los primeros términos

 

Los datos que tenemos son

Usando la fórmula

Podemos obtener el valor de

Con la fórmula

  

Podemos obtener la suma de los primeros 8 términos

Ahora consideramos la fórmula de producto

Para obtener el producto de los primeros términos

 

Medios aritméticos y geométricos

 

10 Escribir tres medios artméticos entre y

 

Tenemos los datos

Usando la fórmula

 

Podemos obtener el valor de

Finalmente

11 Interpolar tres medios geométricos entre y

 

Tenemos los datos

Usando la fórmula

Podemos obtener el valor de

Finalmente

Encuentra la fracción generatriz

12 Encontrar la fracción generatriz de

 

Reescribimos el número de la siguiente manera

Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada

Entonces

Geométricos

13 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo

 

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º

360 = [(a1 + a4) · 4]/2

a4 = a1 + 3 · 25

360= [( a1 + a1 + 3 · 25) · 4]/2

a1 = 105/2 = 52º 30'
a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30'
a4 = 127º 30'

14 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética

 

El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado

(8 + 2d)² = (8 + d)² + 66

La solución negativa no es válida porque no existen lados negativos

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗