Ejercicios de sucesiones y progresiones

1Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

1Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

4Cálculo del término general de una sucesión

5Cálculo del término general de una sucesión

6Cálculo del término general de una sucesión

7Cálculo del término general de una sucesión

8Cálculo del término general de una sucesión

2Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

1Monotonia

2Monotonia y cotas

3Monotonia y cotas

3El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos

4El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión

5Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23

6Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5

7Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5

8Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5

9El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos

10El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión

11Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48

12Encontrar la fracción generatriz de 3.2777777...

13Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º

14El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética

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Ejercicio 1 resuelto

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

Soluciones:

1Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es constante.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.

Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

4Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

5Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

Cálculo del término general de una sucesión

6Cálculo del término general de una sucesión

Es una sucesión oscilante.

Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

7Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

8Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Es una sucesión oscilante.

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.

Los términos pares forman una sucesión constante.

Cálculo del término general de una sucesión

Ejercicio 2 resuelto

Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

Soluciones:

1Monotonia

3, 4/3, 1, 6/7,...

Es monotona estrictamente decreciente.

a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El límite es 0.5

Sucesión convergente

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 < a n ≤ 3

2Monotonia y cotas

2, − 4, 8, − 16, ...

No es monótona.

No es convergente ni divergente.

No está acotada.

3Monotonia y cotas

No es monótona.

Es convergente porque el límite = 0.

Está acotada superiormente, 1 es el máximo.

Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.

Está acotada.

−1 ≤a n ≤ 1

Ejercicio 3 resuelto

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a 1 = − 1;          a 15 = 27;      

a n = a 1 + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

Ejercicio 4 resuelto

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a 4 = 10;          a 6 = 16

 a n = a k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;        d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

Ejercicio 5 resuelto

Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.

a= 3,      b= 23;       

 Interpolación

d= (23-3)/(3+1) = 5;

3,   8, 13, 18,   23.

Ejercicio 6 resuelto

Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

a1= 5;      d= 5;        n = 15.

a n = a 1 + (n - 1) · d          

  Suma de n términos

a15 = 5 + 14 · 5 = 75

S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.

Ejercicio 7 resuelto

Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

a1= 5;        d= 10 ;          n= 15.

a15= 5+ 14 ·10= 145

S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125

Ejercicio 8 resuelto

Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

a1= 6;        d= 2;       n= 15.

a15 = 6 + 14 · 2 = 34

S15= (6 + 34) · 15/2 = 300

Ejercicio 9 resuelto

El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, la suma y el producto de los 8 primeros términos.

a 1 = 3;                 a 8 = 384;   

   razón              suma de n términos consecutivos           Producto de n términos equidistantes

384 = 3 · r8-1 ;       r7 = 128;        r7 = 27;      r= 2.

S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765

Producto

Ejercicio 10 resuelto

El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.

a2= 6;                 a5= 48;        

 an = ak · r n-k

48 = 6 r5-2 ;          r3 = 8;                r = 2.

a1= a2 / r; a1= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48, ...

Ejercicio 11 resuelto

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

a = 3;        b = 48;        

  Interpolar

Interpolar

3,     6, 12, 24,    48

Ejercicio 12 resuelto

Encontrar la fracción generatriz de 3.2777777...

3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...

Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada.

a1= 0.07          r= 0.1;           

3.2 + 0.07 / (1 - 0.1) = 32/10 + 7/90 = 59/18

Ejercicio 13 resuelto

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= ( a1 + a4) · 4/2

a4= a1 + 3 · 25

360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2

a1 = 105/2 = 52º 30'      a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30'                a4 = 127º 30'

Ejercicio 14 resuelto

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

a2 = 8 + d;            a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

diferencia

diferencia

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