Límite de una sucesión

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

Cálculo del término general de una sucesión

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

El límite es 0.

Cálculo del término general de una sucesión

a1= 0.5

a2= 0.6666....

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

sucesión

a1= 5

a2= 7

a1000= 2 003

a1000 000 = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es .

Límite finito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

Definición de límite

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

Definición de límite

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Comprobación del límite

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

Comprobación del límite

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

Comprobación del límite

Comprobación del límite

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.


También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Definición por entorno

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

llímite en el infinito


El límite de la sucesión an= n2 es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

infinito

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.

a101= 1012 = 10 201


Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

llímite en el infinito


Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Límite en el infinito

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012 = −10 201