Ejercicios de sucesiones

1Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

1an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

2an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

3an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

4an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

5Monotonia

6Monotonia y cotas

7Monotonia y cotas

8Monotonia y cotas

2Hallar el término general de las siguientes sucesiones

18, 3, -2, -7, -12, ...

23, 6, 12, 24, 48, ...

34, 9, 16, 25, 36, 49, ...

45, 10, 17, 26, 37, 50, ...

56, 11, 18, 27, 38, 51, ...

63, 8, 15, 24, 35, 48, ...

7-4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

84, -9, 16, -25, 36, -49, ...

92/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

10Cálculo del término general de una sucesión

3Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

1Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

4Cálculo del término general de una sucesión

5Cálculo del término general de una sucesión

6Cálculo del término general de una sucesión

7Cálculo del término general de una sucesión

8Cálculo del término general de una sucesión

9Cálculo del término general de una sucesión

10Cálculo del término general de una sucesión

Soluciones >>>
  • 1
  • 2
  • 3

Ejercicio 1 resuelto

Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

Soluciones:

1an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

2an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

3an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

4an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.

5Monotonia

3, 4/3, 1, 6/7,...

Es monotona estrictamente decreciente.

a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El límite es 0.5

Sucesión convergente

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 < a n ≤ 3

6Monotonia y cotas

2, − 4, 8, − 16, ...

No es monótona.

No es convergente ni divergente.

No está acotada.

7Monotonia y cotas

No es monótona.

Es convergente porque el límite = 0.

Está acotada superiormente, 1 es el máximo.

Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.

Está acotada.

−1 ≤a n ≤ 1

8Monotonia y cotas

Monotonia y cotas

Es monotona estrictamente creciente.

a1= 0.5

a3= 0.6666

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1

Sucesión convergente

Está acotada inferiormente. 1/2 es el mínimo.

Está acotada superiormente. 1 supremo.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 ≤ a n < 1

Ejercicio 2 resuelto

Hallar el término general de las siguientes sucesiones

Soluciones:

18, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8= -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

Es una progresión aritmética

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

23, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2.

Es una progresión geométrica

an = 3· 2 n-1

34, 9, 16, 25, 36, 49, ...

22, 32, 42, 52, 62, 72, ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.

bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es:

an= (n + 1)2

45, 10, 17, 26, 37, 50, ...

22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...

Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.

an= (n + 1) 2 + 1

56, 11, 18, 27, 38, 51, ...

22 + 2 , 32 + 2, 42 + 2, 52 + 2, 62 + 2 , 72 + 2, ...

an= (n + 1)2 + 2

63, 8, 15, 24, 35, 48, ...

22 -1 , 32 -1, 42 - 1, 52 - 1, 62 - 1 , 72 - 1, ...

an= (n + 1)2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ...

22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...

an= (n + 1) 2 - 2

7-4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

an= (-1)n (n + 1)2

84, -9, 16, -25, 36, -49, ...

an= (-1)n-1 (n + 1)2

92/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

Tenemos dos sucesiones:

2, 5, 8, 11, 14, ...

4, 9, 16, 25, 36, ...

La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.

an= (3n - 1)/(n + 1)2

10Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d = 2.

El denominador es una progresión aritmética de d = 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

Ejercicio 3 resuelto

Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

Soluciones:

1Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es constante.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.

Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

4Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

5Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

Cálculo del término general de una sucesión

6Cálculo del término general de una sucesión

Es una sucesión oscilante.

Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

7Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

8Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Es una sucesión oscilante.

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.

Los términos pares forman una sucesión constante.

Cálculo del término general de una sucesión

9Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d = 2.

El denominador es una progresión geométrica con una r = 2.

Cálculo del término general de una sucesión

10Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d = 1.

El denominador es una progresión geométrica con una r = 3.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

Cálculo del término general de una sucesión

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