Ejercicios de sucesiones
Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones
1an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
2an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
3an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
4an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
5
6
7
8
9Hallar el término general de las siguientes sucesiones
1 8, 3, -2, -7, -12, ...
2 3, 6, 12, 24, 48, ...
3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...
5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...
8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
10 
10Calcular el término general de las siguientes sucesiones:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11
11 Estudia la monotonía y las cotas:
1
2
Ejercicios resueltos de de sucesiones
1
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
Es creciente.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El mínimo es 1.
No está acotada superiormente.
Divergente
Ejercicios resueltos de de sucesiones
2
an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
El máximo es -1.
No está acotada inferiormente.
Divergente
Ejercicios resueltos de de sucesiones
3
an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
Es decreciente.
Está acotada superiormente
Cotas superiores: 2, 3, 4, ...
El máximo es 2.
Está acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
El ínfimo es 1.
Convergente, límite = 1.
Ejercicios resueltos de de sucesiones
4
an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
No es monótona.
No está acotada.
No es convergente ni divergente.
Ejercicios resueltos de de sucesiones
5
Monotonía
3, 4/3, 1, 6/7,...
Es monotona estrictamente decreciente.
Límite
a1= 3
a3= 1
a1000= 0.5012506253127
a1000 000 = 0.5000012500006
El límite es 0.5
Sucesión convergente
Cotas
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la sucesión está acotada.
0.5 < a n ≤ 3
Ejercicios resueltos de de sucesiones
6
2, − 4, 8, − 16, ...
No es monótona.
No es convergente ni divergente.
No está acotada.
Ejercicios resueltos de de sucesiones
7
No es monótona.
Es convergente porque el límite = 0.
Está acotada superiormente, 1 es el máximo.
Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.
Está acotada.
−1 ≤a n ≤ 1
Ejercicios resueltos de de sucesiones
8
Monotonía
Es monotona estrictamente creciente.
Límite
a1= 0.5
a3= 0.6666
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1
Sucesión convergente
Cotas
Está acotada inferiormente. 1/2 es el mínimo.
Está acotada superiormente. 1 supremo.
Por tanto la sucesión está acotada.
0.5 ≤ a n < 1
Ejercicios resueltos de de sucesiones
9
Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
1 8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8= -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13
2 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.
an = 3· 2 n-1
3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.
bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2
4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...
22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...
Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.
an= (n + 1) 2 + 1
5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...
an= (n + 1)2 - 1
6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...
an= (n + 1)2 - 1
2, 7, 14, 23, 34, 47, ...
22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...
an= (n + 1) 2 - 2
7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...
an= (-1)n (n + 1)2
8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
an= (-1)n-1 (n + 1)2
9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
Tenemos dos sucesiones:
2, 5, 8, 11, 14, ...
4, 9, 16, 25, 36, ...
La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.
an= (3n - 1)/(n + 1) 2
10
Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.
Ejercicios resueltos de de sucesiones
10
Calcular el término general de las siguientes sucesiones:
1
El numerador es constante.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
2
El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.
3
En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.
El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
4
Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.
5
Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.
6
Es una sucesión oscilante.
Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.
El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1.
7
Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1.
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.
8
Es una sucesión oscilante.
El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.
El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).
El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.
Los términos pares forman una sucesión constante.
9
El numerador es una progresión aritmética con una d= 2.
El denominador es una progresión geométrica con una r= 2.
10
Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión geométrica con una r= 3.
Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.
Ejercicios resueltos de de sucesiones
11
Estudia la monotonía y las cotas:
1
Monotonía
3, 4/3, 1, 6/7,...
La sucesión va decreciendo.
Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.
Es monotona estrictamente decreciente.
Límite
a1= 3
a3= 1
a1000= 0.5012506253127
a1000 000 = 0.5000012500006
El límite es 0.5
Sucesión convergente
Cotas
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la sucesión está acotada.
1/2 < an ≤ 3
2
Monotonía
Cada término es mayor que la anterior.
Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.
Es monotona estrictamente creciente.
Límite
a1= 0.5
a3= 0.6666
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1
Sucesión convergente
Cotas
Por ser creciente, 1/2 es una cota inferior, el mínimo.
1 es una cota superior, el supremo. o extremo superior.
Por tanto la sucesión está acotada.
0.5 ≤ an < 1
