Sucesiones y progresiones

Sucesiones

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión

Por el término general

an= 2n-1

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma con sucesiones:

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2 Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ..)

an + 0 = an

4 Sucesión opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

Diferencia con sucesiones:

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto con sucesiones:

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2 Conmutativa:

an · bn = bn · a n

3 Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distributiva respecto a la suma

an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

Inversible

Cociente

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Cociente

Límite de una sucesión

Es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión

Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite.

Sucesiones divergentes

Son las sucesiones que no tienen límite finito.

Tipos de sucesiones

Sucesiones monótonas

monotonía

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 > an

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

an+1 < an

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.

an = an+1

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak + (n - k) · d

Interpolación de términos

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolación

Suma de términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

Suma de términos equdistantes

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an

Suma de n términos consecutivos

Suma de n términos

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

razón

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 · rn-1

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak · rn-k

Interpolación de términos

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Interpolar

Suma de n términos consecutivos

suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

Suma de términos equdistantes

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

Producto de n términos equidistantes

Producto de n términos equidistantes

Término general de una sucesión

1. Comprobar si es una progresión aritmética.

2. Comprobar si es una progresión geométrica.

3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.

5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).

Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.


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