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Vamos

Definición de una sucesión

 

Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan.

 

Ejemplo:

 

Los números se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Una sucesión se suele expresar entre llaves: o entre paréntesis

 

Determinación de una sucesión

 

Por el término general

 

 

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

 

Por una ley de recurrencia

 

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

Sucesión de Fibonacci:

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

 

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones y :

 

Suma de sucesiones

 

 

Propiedades

 

1 Asociativa:

2 Conmutativa:

3 Elemento neutro

4 Sucesión opuesta

 

Diferencia de sucesiones

 

 

Producto de sucesiones

 

 

Propiedades

 

1 Asociativa:

2 Conmutativa:

3 Elemento neutro

4 Distributiva respecto a la suma

 

Sucesión inversible

 

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión es inversible, su inversa es:

 

Cociente de sucesiones

 

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

 

Tipos de sucesiones

 

Sucesiones monótonas

 

 

Sucesiones estrictamente crecientes

 

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

 

Sucesiones crecientes

 

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

 

Sucesiones estrictamente decrecientes

 

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

 

Sucesiones decrecientes

 

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

 

Sucesiones constantes

 

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales,

 

Sucesiones acotadas inferiormente

 

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.

 

Sucesiones acotadas superiormente

 

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.

 

Sucesiones acotadas

 

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

 

Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes tiene límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

 

Sucesiones divergentes

 

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite =

 

Sucesiones oscilantes

 

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

 

Sucesiones alternadas

 

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

Tanto los términos pares como los impares tienden de límite .

Oscilantes

Ejemplos:

1

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores:

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

2

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores:

El máximo es –1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

3

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores:

El máximo es 2.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores:

El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

4

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗