Sucesiones

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

3, 6, 9,..., 3n

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión

Por el término general

an= 2n-1

a1= 2 ·1 - 1 = 1

a2= 2 ·2 - 1 = 3

a3= 2 ·3 - 1 = 5

a4= 2 ·4 - 1 = 7

1, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

2, 4, 16, ...

Sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Sucesión de Fibonacci

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma de sucesiones

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Propiedades

1. Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2. Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3. Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4. Sucesión opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

Diferencia de sucesiones

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto de sucesiones

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Propiedades

1. Asociativa:

(an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2. Conmutativa:

an · bn = bn · a n

3. Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4. Distributiva respecto a la suma

an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

Inversible

Cociente de sucesiones

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Cociente

Tipos de sucesiones

Sucesiones monótonas

monotonía

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

an+1 > an

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

an+1 < an

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.

an = an+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'


Sucesiones convergentes

Cálculo del término general de una sucesión

Límite = 0

Cálculo del término general de una sucesión

Límite = 1


Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

sucesión

Límite = ∞


Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...


Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n

Ejemplos:

an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

bn = -1, -2, -3, -4, -5, ... -n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.

Ejercicios resueltos de de sucesiones


 
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