Ejercicios de límites de sucesiones

1Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

1Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

4Cálculo del término general de una sucesión

5Cálculo del término general de una sucesión

6Cálculo del término general de una sucesión

7Cálculo del término general de una sucesión

8Cálculo del término general de una sucesión

2Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

1Monotonia

2Monotonia y cotas

3Monotonia y cotas

3Escribe una sucesión:

1Monótona no acotada

2Acotada, no monótona

3No acotada, no monótona

4No acotada, convergente

5Acotada, divergente

6Acotada, no convergente

7No monótona, convergente

8No monótona, divergente

4Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

5El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

6Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

7Demuestra que la sucesión Sucesión tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

8Probar que la sucesión límite de una sucesión tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).

9Demuestra que la sucesión límite de una sucesión tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).

10Demuestra que la sucesión límite de una sucesión tiene por limite +∞. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.

Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

11Calcula los siguientes límites:

1Cálculo de límite

2Infinito menos infinito

3Infinito menos infinito

12Calcula los siguientes límites:

1Infinito partido infinito

2Infinito partido infinito

3Infinito partido infinito

4Infinito partido infinito

5Infinito partido infinito

6Infinito partido infinito

7Infinito partido infinito

13Calcula los siguientes límites:

1Infinito por cero

2Infinito por cero

14Calcula los siguientes límites:

1Potencias

2Potencias

3Potencias

4Potencias

5Potencias

6Potencias

7Potencias

8Uno elevado a infinito

15Calcula los siguientes límites:

1Uno elevado a infinito

2Uno elevado a infinito

16Calcula los siguientes límites:

1Progresión aritmética

2Progresión geométrica

3Suma indefinida decreciente de una progresión geométrica

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Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

Ejercicio 1 resuelto

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

1Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es constante.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

2Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.

Cálculo del término general de una sucesión

3Cálculo del término general de una sucesión

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

Cálculo del término general de una sucesión

El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

4Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

5Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

Cálculo del término general de una sucesión

6Cálculo del término general de una sucesión

Es una sucesión oscilante.

Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1.

Cálculo del término general de una sucesión

7Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

Cálculo del término general de una sucesión

8Cálculo del término general de una sucesión

Cálculo del término general de una sucesión

Es una sucesión oscilante.

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.

Los términos pares forman una sucesión constante.

Cálculo del término general de una sucesión

Ejercicio 2 resuelto

Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

1Monotonia

3, 4/3, 1, 6/7,...

La sucesión va decreciendo.

monotonía

monotonía

monotonía

monotonía

monotonía

Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.

Es monotona estrictamente decreciente.

a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El límite es 0.5

Sucesión convergente

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 < a n ≤ 3

2Monotonia y cotas

2, −4, 8, −16, ...

No es monótona.

No es convergente ni divergente.

No está acotada.

3Monotonia y cotas

No es monótona.

Es convergente porque el límite = 0.

Está acotada superiormente, 1 es el máximo.

Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.

Está acotada.

−1 ≤ an ≤ 1

Ejercicio 3 resuelto

Escribe una sucesión:

1Monótona no acotada

3, 5, 7, 9, 11, ...

2Acotada, no monótona

2, -2, 2, -2, 2, ...

3No acotada, no monótona

1, -2, 1, -3, 1,...

4No acotada, convergente

Es imposible

5Acotada, divergente

Es imposible

6Acotada, no convergente

-5, 5, -5, 5, -5, ...

7No monótona, convergente

.0.1, -0.1, 0.01, -0.01, 0.001, -0.001, ...

8No monótona, divergente

5, 1, 6, 2, 7, 3, ...

Ejercicio 4 resuelto

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= ( a1 + a4) · 4/2

a4= a1 + 3 · 25

360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2

a1 = 105/2 = 52º 30'      a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30'                a4 = 127º 30'

Ejercicio 5 resuelto

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

a2 = 8 + d;            a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

diferencia

diferencia

Ejercicio 6 resuelto

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

cuadrado

lados y áreas

lados y áreas

suma

Ejercicio 7 resuelto

Demuestra que la sucesión Sucesión tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

Límite por la definición

Límite por la definición

Límite por la definición

A partir de a41 la distancia a 2 será menor que una decima.

Ejercicio 8 resuelto

Probar que la sucesión límite de una sucesión tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).

límite de una sucesión

límite de una sucesión

límite de una sucesión

Quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.

Ejercicio 9 resuelto

Demuestra que la sucesión límite de una sucesión tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).

límite de una sucesión

límite de una sucesión

límite de una sucesión

límite de una sucesión

Los primeros 54 términos quedan fuera del entorno.

Ejercicio 10 resuelto

Demuestra que la sucesión límite de una sucesión tiene por limite +∞. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.

límite de una sucesión

límite de una sucesión

No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.

Ejercicio 11 resuelto

Calcula los siguientes límites:

1Cálculo de límite

Infinito menos infinito

Infinito menos infinito

2Infinito menos infinito

Infinito menos infinito

Infinito menos infinito

Infinito menos infinito

3Infinito menos infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Ejercicio 12 resuelto

Calcula los siguientes límites:

1Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

2Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

3Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

4Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

5Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

6Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

7Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Infinito partido infinito

Ejercicio 13 resuelto

Calcula los siguientes límites:

1Infinito por cero

Infinito por cero

Infinito por cero

2Infinito por cero

Infinito por cero

Infinito por cero

Ejercicio 14 resuelto

Calcula los siguientes límites:

1Potencias

Potencias

2Potencias

Potencias

3Potencias

Potencias

4Potencias

Potencias

5Potencias

Potencias

6Potencias

Potencias

7Potencias

Potencias

8Uno elevado a infinito

Potencias

Ejercicio 15 resuelto

Calcula los siguientes límites:

1Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito

2Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Ejercicio 16 resuelto

Calcula los siguientes límites:

1Progresión aritmética

Progresión aritmética

Progresión aritmética

Progresión aritmética

2Progresión geométrica

Progresión geométrica

Progresión geométrica

3Suma indefinida decreciente de una progresión geométrica

Suma indefinida decreciente de una progresión geométrica

Suma indefinida decreciente de una progresión geométrica

Suma indefinida decreciente de una progresión geométrica

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