Ejercicios polinomios I

1Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

13x3

25x−3

33x + 1

4expresión algebraica

5expresióm

6expresión

7expresión

2Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

12x3 − 5x3 =

23x4 − 2x4 + 7x4 =

3(2x3) · (5x3) =

4(2x3y2) · (5x3yz2) =

5(12x3) : (4x) =

6(18x6y2z5) : (6x3yz2) =

7(2x3y2)3 =

8(2x3y2z5)5 =

93x3 − 5x3 − 2x3 =

10(12x3y5 z4) : (3x2y2z3) =

11división

3Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

2RAÍZ + 7X2 + 2

31 − x4

4expresión

5x3 + x5 + x2

6x − 2x−3 + 8

7expresión

4Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

2Un polinomio no ordenado y completo.

3Un polinomio completo sin término independiente.

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

5Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x)

2P(x) − U (x)

3P(x) + R (x)

42P(x) − R (x)

5S(x) + T(x) + U(x)

6S(x) − T(x) + U(x)

6Multiplicar:

1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3)

2(3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2)

3(2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3)

7Hallar el valor numérico del polinomio x3 + 3x2 − 4x − 12, para:

x = 1, x = − 1, x = 2.

8Calcula:

1 (x + 5)2

2(2x - 5)2

3(x + 5) · (x − 5)

4(3x - 2) · (3x + 2)

9Dividir:

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2) =

2(x6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3) =

3P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

10Divide por Ruffini:

1(x3 + 2x + 70) : (x + 4)

2(x5 − 32) : (x − 2)

3(x4 − 3x2 + 2 ) : (x −3)

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Ejercicio 1 resuelto

Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

13x3

Grado: 3, coeficiente: 3

25x−3

No es un monomio, porque el exponente no es un número natural.

33x + 1

No es un monomio, porque aparece una suma.

4expresión algebraica

Grado: 1, coeficiente: coefeciente

5expresión

Grado: 4, coefeciente: coefeciente

6expresión

No es un monomio, no tiene exponente natural.

7expresión

No, porque la parte literal está dentro de una raíz.

Ejercicio 2 resuelto

Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

1 2x3 − 5x3 = −3x3

2 3x4 − 2x4 + 7x4 = 8x4

3(2x3) · (5x3) = 10x6

4(2x3y2) · (5x3yz2) = 10x6y3z2

5 (12x3) : (4x) = 3x2

6 (18x6y2z5) : (6x3yz2) = 3x3yz3

7(2x3y2)3 = 8x9y6

8(2x3y2z5)5 = 32x15y10z25

9 3x3 − 5x3 − 2x3 = −4x3

10 (12 x3y5z4) : (3x2y2z3) = 4xy3z

11solución

Ejercicio 3 resuelto

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2RAÍZ + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x4

Grado: 4, término independiente: 1.

4expresión

No es un polinomio, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5x3 + x5 + x2

Grado: 5, término independiente: 0.

6x − 2 x−3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7expresión

Grado: 3, término independiente: −7/2.

Ejercicio 4 resuelto

Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5

Ejercicio 5 resuelto

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =

= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 =

= 3x2 − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

42P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

= 2x2 − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x2 + 11

6S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1

>

Ejercicio 6 resuelto

Multiplicar:

1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

= x 6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2 − 4x + 6=

= x 6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x + 6 =

= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x

3(2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =

= 6x6 − 10x5 − 12x4 + 8x3 − 6x2

− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2 + 15x +

+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =

= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12x4 + 25x4 + 18x4 +

+8x3 − 30x3 + 30x3 − 6x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =

= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18

Ejercicio 7 resuelto

Hallar el valor numérico del polinomio x3 + 3x2 −4 x − 12, para: x = 1, x = − 1, x = 2.

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 =

= 1 + 3 − 4 − 12 = −12

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 =

= − 1 + 3 + 4 − 12 = − 6

P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 =

= 8 + 12 − 8 − 12 = 0

Ejercicio 8 resuelto

Calcula:

1(x + 5)2 =

= x2 + 2 · x · 5 + 52 =

= x 2 + 10 x + 25

2(2x - 5)2 =

= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =

= 4x2 - 20 x + 25

3(x + 5) · (x − 5) =

= x2 − 25

4(3x - 2) · (3x + 2) =

= (3x)2 − 22 =

= 9x4 − 4

Ejercicio 9 resuelto

Dividir:

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

división

2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

división

3P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

DIVISIÓN

Ejercicio 10 resuelto

Divide por Ruffini:

1(x3 + 2x +70) : (x + 4)

Ruffini 

solución

2(x5 − 32) : (x − 2)

Ruffini

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R = 0

3(x4 −3x2 +2 ) : (x −3)

Ruffini

C(x) = x3 + 3x2 + 6x +18 R = 56

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