Ejercicios y problemas de polinomios

1Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

2RAÍZ + 7X2 + 2

31 − x4

4expresión

5x3 + x5 + x2

6x − 2x−3 + 8

7expresión

2Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

2Un polinomio no ordenado y completo.

3Un polinomio completo sin término independiente.

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

3Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

2P(x) − U (x) =

3P(x) + R (x) =

42P(x) − R (x) =

5S(x) + T(x) + U(x) =

6S(x) − T(x) + U(x) =

4Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

1P(x) + Q(x) − R(x)

2P(x) + 2 Q(x) − R(x)

3Q(x) + R(x) − P(x)

5Multiplicar:

1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3)

2(3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2)

3(2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3)

6Dividir:

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

2(x6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

7Divide por Ruffini:

1(x3 + 2x + 70) : (x + 4)

2(x5 − 32) : (x − 2)

3(x4 − 3x2 + 2 ) : (x −3)

8Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

2(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)

3(x4 − 3x2 + 2) :  (x − 3)

9Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x3 − 5x −1) : (x − 3)

2(x6 − 1) : (x + 1)

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

4(x10 − 1024) : (x + 2)

10Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)

4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

11Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x2 − 4.

12Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx + 5 sea divisible por x2 + x + 1.

13Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

14Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

15Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

16Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras raíces.

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Ejercicio 1 resuelto

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2RAÍZ + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x4

Grado: 4, término independiente: 1.

4expresión

No es un polinomio, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5x3 + x5 + x2

Grado: 5, término independiente: 0.

6x − 2 x−3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7expresión

Grado: 3, término independiente: −7/2.

Ejercicio 2 resuelto

Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5

Ejercicio 3 resuelto

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =

= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 =

= 3x2 − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

42P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

= 2x2 − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x2 + 11

6S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1

Ejercicio 4 resuelto

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2 x − 2

Calcular:

1P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2 x − 2) =

= x4 − 2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + x3 − 2x2 − 6x2 − 6x + 2x − 1 + 4 + 2 =

= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5

2P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + 2 · (x3 − 6x2 + 4) − (2x4 − 2x − 2) =

= x4 − 2x2 − 6x − 1 + 2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + 2x3 − 2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9

3Q(x) + R(x) − P(x)=

= (x3 − 6x2 + 4) + (2x4 − 2x − 2) − (x4 − 2x2 − 6x − 1) =

= x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2x − 2 − x4 + 2x2 + 6x + 1=

= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 + 2x2 −2x + 6x + 4 − 2 + 1=

= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

Ejercicio 5 resuelto

Multiplicar:

1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

= x 6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2 − 4x + 6=

= x 6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x + 6 =

= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x

3(2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =

= 6x6 − 10x5 − 12x4 + 8x3 − 6x2

− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2 + 15x +

+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =

= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12x4 + 25x4 + 18x4 +

+8x3 − 30x3 + 30x3 − 6x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =

= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18

Ejercicio 6 resuelto

Dividir:

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

división

2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

división

3P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

DIVISIÓN

Ejercicio 7 resuelto

Divide por Ruffini:

1(x3 + 2x +70) : (x + 4)

Ruffini 

solución

2(x5 − 32) : (x − 2)

Ruffini

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R = 0

3(x4 −3x2 +2 ) : (x −3)

Ruffini

C(x) = x3 + 3x2 + 6x +18 R = 56

Ejercicio 8 resuelto

Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

R(1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −4

2(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)4 − 2 · (−2)3 + 3 · (−2)2 + 5 · (−2) +10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

3(x4 − 3x2 +2) :  ( x − 3)

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Ejercicio 9 resuelto

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x3 − 5x −1) : (x − 3)

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2(x6 − 1) : (x + 1)

P(−1)= (−1)6 − 1 = 0

Exacta.

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0

Exacta.

4(x10 − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

Exacta.

Ejercicio 10 resuelto

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)6 − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = −2) = 0.

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

Ejercicio 11 resuelto

Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x2 − 4.

x2 − 4 = (x +2) · (x − 2)

P(−2) = (−2)5 − a · (−2) + b = 0

−32 +2a +b = 0         2a +b = 32

  P(2) = 25 − a · 2 + b = 0

32 − 2a +b = 0          − 2a +b = −32

sistema        solución

Ejercicio 12 resuelto

Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx +5 sea divisible por x2 + x + 1.

división

b − a = 0            −a + 6 = 0

a = 6           b = 6

Ejercicio 13 resuelto

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.

P(2) = 2 · 22 − k · 2 +2 = 4

10 − 2k = 4        − 2k = − 6       k = 3

Ejercicio 14 resuelto

Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

P(1) = 3 · 12 + m · 1 + 4 = 0

3 + m + 4 = 0              m = − 7

Ejercicio 15 resuelto

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

(x − 3) · (x − 5) · (x2 − 4) =

(x2 −8 x + 15) · (x2 − 4) =

= x4 − 4x2 − 8x3 +32x + 15x2 − 60 =

= x4 − 8x3 + 11x2 +32x − 60

Ejercicio 16 resuelto

Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = − 2, y calcular las otras raíces.

P(−2) = (−2)3 − a · (−2) +8 = 0        −8 + 2a +8 = 0         a= 0

Rfuffini

(x + 2) · (x2 − 2x + 4)

x2 − 2x + 4 = 0

ecuación

No tiene más raíces reales.

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