Ejercicios y problemas de polinomios

1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x⁴ − 3x⁵ + 2x² + 5

2 + 7X² + 2

31 − x⁴

4

5x³ + x⁵ + x²

6x − 2x⁻³ + 8

7

2Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

2Un polinomio no ordenado y completo.

3Un polinomio completo sin término independiente.

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

3Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² + 5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

2P(x) − U (x) =

3P(x) + R (x) =

42P(x) − R (x) =

5S(x) + T(x) + U(x) =

6S(x) − T(x) + U(x) =

4Dados los polinomios:

P(x) = x⁴ − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x⁴ − 2x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

Q(x) + R(x) − P(x)=

5Multiplicar:

1(x⁴ − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3) =

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) =

3 (2x² − 5x + 6) · (3x⁴ − 5x³ − 6x² + 4x − 3) =

6Dividir:

1(x⁴ − 2x³ − 11x² + 30x − 20) : (x² + 3x − 2)

2(x ⁶ + 5x⁴ + 3x² − 2x) : (x² − x + 3)

3 P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

7Divide por Ruffini:

1 (x³ + 2x + 70) : (x + 4)

2(x⁵ − 32) : (x − 2)

3 (x⁴ − 3x² + 2 ) : (x −3)

8Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x⁵ − 2x² − 3) : (x −1)

2(2x⁴ − 2x³ + 3x² + 5x + 10) : (x + 2)

3 ( x⁴ − 3x² + 2) :  (x − 3)

9Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x³ − 5x −1) : (x − 3)

2(x⁶ − 1) : (x + 1)

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1)

4(x¹⁰ − 1024) : (x + 2)

10Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³ − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1 )

4(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

11Hallar a y b para que el polinomio x⁵ − ax + b sea divisible por x² − 4.

12Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x³ + ax² + bx + 5 sea divisible por x² + x + 1.

13 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x² − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

14 Determinar el valor de m para que 3x² + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

15 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x² − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

16 Calcular el valor de a para que el polinomio x³ − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras raíces.

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

1

1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x⁴ − 3x⁵ + 2x² + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2 + 7X² + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x⁴

Grado: 4, término independiente: 1.

4

No es un polinomio, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5x³ + x⁵ + x²

Grado: 5, término independiente: 0.

6x − 2 x⁻³ + 8

No es un polinomio, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7

Grado: 3, término independiente: −7/2.

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

2

Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x⁴ − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x² + 5 − 2x³

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x⁴ − x³ − x² + 3x + 5

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

3

Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² + 5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x² − 1) + (x³ − 3x² + 6x − 2) =

= x³ − 3x² + 4x² + 6x − 2 − 1 =

= x³ + x² + 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x² − 1) − (x² + 2) =

= 4x² − 1 − x² − 2 =

= 3x² − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x² − 1) + (6x² + x + 1) =

= 4x² + 6x² + x − 1 + 1 =

= 10x² + x

42P(x) − R (x) =

= 2 · (4x² − 1) − (6x² + x + 1) =

= 8x² − 2 − 6x² − x − 1 =

= 2x² − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4 ) + (3/2 x² + 5 ) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 3/2 x² + x² + 4 + 5 + 2 =

= 3x² + 11

6S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4) − (3/2 x² + 5) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 4 − 3/2 x² − 5 + x² + 2 =

= 1

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

4

Dados los polinomios:

P(x) = x⁴ − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x⁴ − 2 x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x⁴ − 2x² − 6x − 1) + (x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ − 2 x − 2) =

= x⁴ − 2x² − 6x − 1 + x³ − 6x² + 4 − 2x⁴ + 2x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + x³ − 2x² − 6x² − 6x + 2x − 1 + 4 + 2 =

= −x⁴ + x³ − 8x² − 4x + 5

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

= (x⁴ − 2x² − 6x − 1) + 2 · (x³ − 6x² + 4) − (2x⁴ − 2x − 2) =

= x⁴ − 2x² − 6x − 1 + 2x³ − 12x² + 8 − 2x⁴ + 2x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + 2x³ − 2x² − 12x² − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x⁴ + 2x³− 14x² − 4x + 9

Q(x) + R(x) − P(x)=

= (x³ − 6x² + 4) + (2x⁴ − 2x − 2) − (x⁴ − 2x² − 6x − 1) =

= x³ − 6x² + 4 + 2x⁴ −2x − 2 − x⁴ + 2x² + 6x + 1=

= 2x⁴ − x⁴ + x³ − 6x² + 2x² −2x + 6x + 4 − 2 + 1=

= x⁴ + x³ − 4x² + 4x + 3

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

5

Multiplicar:

1(x⁴ − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3) =

= x ⁶ − 2x⁵ + 3x⁴ − 2x⁴ + 4x³ − 6x² + 2x² − 4x + 6=

= x ⁶ − 2x⁵ − 2x⁴ + 3x⁴ + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x + 6 =

= x ⁶ −2x⁵ + x⁴ + 4x³ − 4x² − 4x + 6

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 3x³ + 6x² − 10x⁴ − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 10x⁴ − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 2x⁴ − 23x³ + 11x² − 10x

3 (2x² − 5x + 6) · (3x⁴ − 5 x³ − 6 x² + 4x − 3) =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 12x⁴ + 8x³ − 6x² −

− 15x⁵ + 25x⁴ + 30x³ − 20x² + 15x +

+18x⁴ − 30x³ − 36x² + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 15x⁵ − 12x⁴ + 25x⁴ + 18x⁴ +

+8x³ − 30x³ + 30x³ − 6x²− 20x² − 36x² + 15x + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 25x⁵ + 31x⁴ + 8x³ − 62x² + 39x − 18

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

6

Dividir:

1(x⁴ − 2x³ − 11x² + 30x − 20) : (x² + 3x − 2)

2(x ⁶+ 5x⁴ + 3x² − 2x) : (x² − x + 3)

3 P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

7

Divide por Ruffini:

1 (x³ + 2x +70) : (x + 4)

 

2(x⁵ − 32) : (x − 2)

C(x) = x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16 R = 0

3 (x⁴ −3x² +2 ) : (x −3)

C(x) = x³ + 3x² + 6x +18 R = 56

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

8

Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x⁵ − 2x² − 3) : (x −1)

R(1) = 1⁵ − 2 · 1² − 3 = −4

2(2x⁴ − 2x³ + 3x² + 5x +10) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)⁴ − 2 · (−2)³ + 3 · (−2)² + 5 · (−2) +10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

3 (x⁴ − 3x² +2) :  ( x − 3)

P(3) = 3⁴ − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

9

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x³ − 5x −1) : (x − 3)

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2(x⁶ − 1) : (x + 1)

P(−1)= (−1)⁶ − 1 = 0

Exacta

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1)

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0

Exacta

4(x¹⁰ − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

Exacta

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

10

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³ − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = −2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

11

Hallar a y b para que el polinomio x⁵ − ax + b sea divisible por x² − 4.

x² − 4 = (x +2) · (x − 2)

P(−2) = (−2)⁵ − a · (−2) + b = 0

−32 +2a +b = 0         2a +b = 32

  P(2) = 2⁵ − a · 2 + b = 0

32 − 2a +b = 0          − 2a +b = −32

        

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

12

Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x³ + ax² + bx +5 sea divisible por x² + x + 1.

b − a = 0            −a + 6 = 0

a = 6           b = 6

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

13

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x² − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.

P(2) = 2 · 2² − k · 2 +2 = 4

10 − 2k = 4        − 2k = − 6       k = 3

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

14

Determinar el valor de m para que 3x² + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

P(1) = 3 · 1² + m · 1 + 4 = 0

3 + m + 4 = 0              m = − 7

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

15

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x² − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

(x − 3) · (x − 5) · (x² − 4) =

(x² −8 x + 15) · (x² − 4) =

= x⁴ − 4x² − 8x³ +32x + 15x² − 60 =

= x⁴ − 8x³ + 11x² +32x − 60

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

16

Calcular el valor de a para que el polinomio x³ − ax + 8 tenga la raíz x = − 2, y calcular las otras raíces.

P(−2) = (−2)³ − a · (−2) +8 = 0        −8 + 2a +8 = 0         a= 0

(x + 2) · (x² − 2x + 4)

x² − 2x + 4 = 0

No tiene más raíces reales.