Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

P(x)= x⁴ − 3x² +2         Q(x)= x − 3

P(x) : Q(x)

P(3) = 3⁴ − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero del poinomio P(x).

P(x) = x² − 5x + 6

P(2) = 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x² − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

Raíces o ceros de un polinomio

1Los ceros o raíces de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.

2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x — a).

3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

x² − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.

x² + x = x · (x + 1)

Raíces: x = 0 y x = − 1

6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

P(x) = x² + x + 1

Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:

Q(x) = x² − x − 6

Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 1² − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1)² − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 2² − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)² − (−2) − 6 = 4 +2 - 6 = 0

Q(3) = 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 =0

Las raíces son: x= -2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2 ) · (x − 3 )

Métodos para factorizar un polinomio

Factor común de polinomios

Sacar factor común consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.

Factorización de una igualdad notable

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

x² − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x² + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

La raíz es x = − 3

La raíz es x = 2

Factorización de un trinomio de segundo grado

a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

x⁴ − 10x² + 9

x⁴ − 10x² + 9 = 0

x² = t

t² − 10t + 9 = 0

x⁴ − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x⁴ − 2x² + 3

x² = t

t² − 2t + 3 = 0

x⁴ − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x + ) · (x − )

Factorización de un polinomio de grado superior a dos.

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Factorizar el polinomio

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 ·(− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2