Ejercicios de polinomios

1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

13x³

25x⁻³

33x + 1

4

5

6

7

2 Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

12x³ − 5x³ =

23x⁴ − 2x⁴ + 7x⁴ =

3(2x³) · (5x³) =

4(2x³ y²) · (5x³ y z²) =

5(12x³) · (4x) =

6(18x⁶ y² z⁵) · (6x³ y z²) =

7(2x³ y²)³ =

8(2 x³ y²z⁵)⁵ =

93x³ − 5x³ − 2x³ =

10(12 x³ y⁵ z⁴⁾ : (3x² y² z³) =

11

3 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x⁴ − 3x⁵ + 2x² + 5

22 + 7X² + 2

31 − x⁴

4

5x³ + x⁵ + x²

6x − 2 x^{− 3} + 8

7

4 Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

2Un polinomio no ordenado y completo.

3Un polinomio completo sin término independiente.

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

5 Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² + 5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x)

2P(x) − U (x)

3P(x) + R (x)

42P(x) − R (x)

5S(x) + R (x) + U(x)

6S(x) − R (x) + U(x)

6 Multiplicar:

1(x⁴ −2x² + 2 ) · (x² −2x + 3) =

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) =

7 Calcula:

1

2(x + 2)³

3(3x − 2)³

4(2x + 5)³

5(3x − 2) · (3x + 2)

8 Dividir:

(x⁴ − 2x³ −11x²+ 30x −20) : (x² + 3x − 2)

9 Divide por Ruffini:

(x³ + 2x +70) : (x+ 4)

10 Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x⁵ − 2x² − 3) : (x −1)

2(2x⁴ − 2x³ + 3x² + 5x +10 ) : (x + 2)

11 Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x³ − 5x −1) : (x − 3)

2(x⁶ − 1) : (x + 1)

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1 )

4 (x¹⁰ − 1024) : (x + 2)

12 Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³ − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

4(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

13 Factorizar:

1

2xy − 2x − 3y +6 =

325x² − 1=

436x⁶ − 49 =

5x² − 2x +1 =

6x² − 6x +9 =

7x² − 20x +100 =

8x² + 10x +25 =

9x² + 14x +49 =

10x³ − 4x² + 4x =

113x⁷ − 27x =

12x² − 11x + 30

133x² + 10x +3

142x² − x −1

14 Descomponer en factores y hallar las raíces de:

1 P(x) = 2x³ − 7x² + 8x − 3

2x³ − x² − 4

3x³ + 3x² −4 x − 12

15 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x² − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

16 Determinar el valor de m para que 3x² + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

17 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x² − 4 y se anule para x = 3 y x = 5.

18 Calcular el valor de a para que el polinomio x³ − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras raíces.

19 Simplificar:

1

2

3

4

20 Operar:

1

2

3

4

5

Ejercicios resueltos de polinomios

1

Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

13x³

Grado: 3, coefeciente: 3

25x⁻³

No es un monomio, porque el exponente no es un número natural.

33x + 1

No es un monomio, porque aparece una suma.

4

Grado: 1, coefeciente:

5

Grado: 4, coefeciente:

6

No es un monomio, no tiene exponente natural.

7

No es un monomio, porque la parte literal está dentro de una raíz.

Ejercicios resueltos de polinomios

2

Efectúa la siguientes operaciones con monomios:

2x³ − 5x³ = −3x³

3x⁴ − 2x⁴ + 7x⁴ = 8x⁴

(2x³) · (5x)³= 10x⁶

(12x³) : (4x) = 3x²

(18x⁶ y² z⁵) : (6x³ y z²) = 3x³ y z³

(2x³ y²)³ = 8 x⁹ y⁶

(2 x³ y² z⁵)⁵ = 32 x¹⁵ y¹⁰ z²⁵

3x³ − 5x³ − 2x³ = −4x³

(12 x³ y⁵ z⁴) : (3x² y² z³) = 4xy³ z

Ejercicios resueltos de polinomios

3

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x⁴ − 3x⁵ + 2x² + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

22 + 7X² + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x⁴

Grado: 4, término independiente: 1.

4

No es un polinomio, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5x³ + x⁵ + x²

Grado: 5, término independiente: 0.

6x − 2x⁻³ + 8

No es un polinomio, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7

Grado: 5, término independiente: −7/2.

Ejercicios resueltos de polinomios

4

Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x⁴ − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x² + 5 − 2x³

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x⁴ − x³ − x² + 3x + 5

Ejercicios resueltos de polinomios

5

Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² + 5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x² − 1) + ( x³ − 3x² + 6x − 2) =

= x³ − 3x² + 4x² + 6x − 2 − 1 =

= x³ + x² + 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x² − 1) − (x² + 2) =

= 4x² − 1 − x² − 2 =

= 3x² − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x² − 1) + (6x² + x + 1) =

= 4x² + 6x² + x − 1 + 1 =

= 10x² + x

42P(x) − R (x) =

= 2(4x² − 1) − (6x² + x + 1) =

= 8x² − 2 − 6x² − x − 1 =

= 2x² − x − 3

5S(x) + R (x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4) + (3/2 x² +5 ) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 3/2 x² + x² + 4 + 5 + 2 =

= 3x² + 11

6S(x) − R (x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4) − (3/2 x² +5) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 4 − 3/2 x² − 5 + x² + 2 =

= 1

Ejercicios resueltos de polinomios

6

Multiplicar:

1(x⁴ −2x² + 2) · (x² −2x + 3) =

= x ⁶ − 2x⁵ + 3x⁴ − 2x⁴ + 4x³ − 6x² + 2x² − 4x + 6=

= x ⁶ −2x⁵ − 2x⁴ + 3x⁴ + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x + 6 =

= x ⁶ −2x⁵ + x⁴ + 4x³ − 4x² − 4x + 6

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x +2) =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 3x³ + 6x² − 10x⁴ − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 10x⁴ − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 2x⁴ − 23x³ + 11x² − 10x

Ejercicios resueltos de polinomios

7

Calcula:

1

2(x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ =

= x³ + 6x² + 12x + 8

3(3x − 2)³ = (3x)³ − 3 · (3x)² · 2 + 3 · 3x · 2² − 2³ =

= 27x ³ − 54x² + 36x − 8

4(2x + 5)³ = (2x)³ + 3 · (2x)² ·5 + 3 · 2x · 5² + 5³ =

= 8x³ + 60 x² + 150 x + 125

5(3x − 2) · (3x + 2) =

= (3x)² − 2² =

= 9x² − 4

Ejercicios resueltos de polinomios

8

Dividir:

(x⁴ − 2x³ − 11x² + 30x − 20) : (x² + 3x − 2)

Ejercicios resueltos de polinomios

9

Divide por Ruffini:

(x³ + 2x + 70) : (x + 4)

 

Ejercicios resueltos de polinomios

10

Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x⁵ − 2x² − 3) : (x −1)

R(1) = 1⁵ − 2 · 1² − 3 = −4

2(2x⁴ − 2x³ + 3x² + 5x +10 ) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)⁴ − 2 · (−2)³ + 3 · (−2)² + 5· (−2) + 10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

Ejercicios resueltos de polinomios

11

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x³ − 5x − 1) : (x − 3)

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2(x⁶ − 1) : (x + 1)

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

Exacta

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1)

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

Exacta

4(x¹⁰ − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

Exacta

Ejercicios resueltos de polinomios

12

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

Ejercicios resueltos de polinomios

13

Factorizar:

1

2xy − 2x − 3y + 6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x² − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

436x⁶ − 49 =

= (6x³ + 7) · (6x³ − 7)

5x² − 2x + 1 =

= (x − 1)²

6x² − 6x + 9 =

= (x − 3)²

7x² − 20x + 100 =

= (x − 10)²

8x² + 10x + 25 =

= (x + 5)²

9x² + 14x +49 =

= (x + 7)²

10x³ − 4x² + 4x =

= x · (x² − 4x + 4) =

= x · (x − 2)²

113x⁷ − 27x =

= 3x · (x⁶ − 9) =

= 3x · (x³ + 3) · (x³ − 3)

12x² − 11x + 30

x² − 11x + 30 = 0

x² − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x² + 10x +3

3x² + 10x +3 = 0

3x² + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x² − x − 1

2x² − x − 1 = 0

2x² − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

Ejercicios resueltos de polinomios

14

Descomponer en factores y hallar las raíces de:

1 P(x) = 2x³ − 7x² + 8x − 3

P(1) = 2 · 1³ − 7 · 1² + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x² − 5x + 3 )

P(1) = 2 · 1 ² −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 )² · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )²

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

2x³ − x² − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1³ − 1² − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) ³ − (−1) ² − 4 ≠ 0

P(2) = 2 ³ − 2 ² − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x²+ x + 2 )

x²+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x²+ x + 2 )

Raíz: x = 2.

3x³ + 3x² − 4 x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 1³ + 3 · 1² − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ + 3 · (−1)² − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2³ + 3 · 2² − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · (x² + 5x + 6)

x² + 5x + 6 = 0

(x − 2) · (x + 2) · (x + 3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

Ejercicios resueltos de polinomios

15

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x² − kx +2 por (x − 2) dé de resto 4.

P(2) = 2 · 2² − k · 2 +2 = 4

10 − 2k = 4        − 2k = − 6       k = 3

Ejercicios resueltos de polinomios

16

Determinar el valor de m para que 3x² + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

P(1) = 3 · 1² + m · 1 + 4 = 0

3 + m + 4 = 0              m = − 7

Ejercicios resueltos de polinomios

17

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x² − 4 y se anule para x = 3 y x = 5.

(x − 3) · (x − 5) · (x² − 4) =

(x² −8 x + 15) · (x² − 4) =

= x⁴ − 4x² − 8x³ + 32x + 15x² − 60 =

= x⁴ − 8x³ + 11x² +32x − 60

Ejercicios resueltos de polinomios

18

Calcular el valor de a para que el polinomio x³ − ax + 8 tenga la raíz x = − 2, y calcular las otras raíces.

P(−2) = (−2)³ − a · (−2) +8 = 0        − 8 + 2a +8 = 0         a= 0

(x + 2) · (x² − 2x + 4)

x² − 2x + 4 = 0

No tiene más raíces reales.

Ejercicios resueltos de polinomios

19

Simplificar:

1

2

3

4

Ejercicios resueltos de polinomios

20

Operar:

1

2

3

4

5